今天回顾WOJ1398，发现了这个当时没有理解透彻的算法。
看了好久好久，现在终于想明白了。
试着把它写下来，让自己更明白。
最长递增子序列，Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS。
排序+LCS算法 以及 DP算法就忽略了，这两个太容易理解了。
假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2
再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3
第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。
最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。
然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！
代码如下:
1 #include<iostream>
2 #include<stdio.h>
3 #include<alloca.h>
4 using namespace std;
5 //在非递减序列 arr[s..e]（闭区间）上二分查找第一个大于等于key的位置，如果都小于key，就返回e+1
6 int upper_bound(int arr[], int s, int e, int key)
7 {
8 int mid;
9 if (arr[e] <= key)
10 return e + 1;
11 while (s < e)
12 {
13 mid = s + (e - s) / 2;
14 if (arr[mid] <= key)
15 s = mid + 1;
16 else
17 e = mid;
18 }
19 cout<<"**"<<s<<endl;
20 return s;
21 }
22
23 int LIS(int d[], int n)
24 {
25 int i = 0, len = 1, *end = (int *)alloca(sizeof(int) * (n + 1));
26 end[1] = d[0]; //初始化：长度为1的LIS末尾为d[0]
27 for (i = 1; i < n; i++)
28 {
29 int pos = upper_bound(end, 1, len, d[i]); //找到插入位置
30 end[pos] = d[i];
31 if (len < pos) //按需要更新LIS长度
32 len = pos;
33 }
34 return len;
35 }
36
37 int main() {
38 //int a[] = {5, 3, 4, 8, 6, 7};
39 int a[] = {2, 1, 5, 3, 6, 4, 8, 9, 7};
40 cout<<LIS(a, 9)<<endl;
41 }