最近在看《机器学习实战》这本书，因为自己本身很想深入的了解机器学习算法，加之想学python，就在朋友的推荐之下选择了这本书进行学习，在写这篇文章之前对FCM有过一定的了解，所以对K均值算法有一种莫名的亲切感，言归正传，今天我和大家一起来学习K-均值聚类算法。
一 K-均值聚类（K-means）概述
1. 聚类
“类”指的是具有相似性的集合。聚类是指将数据集划分为若干类，使得类内之间的数据最为相似，各类之间的数据相似度差别尽可能大。聚类分析就是以相似性为基础，对数据集进行聚类划分，属于无监督学习。
2. 无监督学习和监督学习
上一篇对KNN进行了验证，和KNN所不同，K-均值聚类属于无监督学习。那么监督学习和无监督学习的区别在哪儿呢？监督学习知道从对象（数据）中学习什么，而无监督学习无需知道所要搜寻的目标，它是根据算法得到数据的共同特征。比如用分类和聚类来说，分类事先就知道所要得到的类别，而聚类则不一样，只是以相似度为基础，将对象分得不同的簇。
3. K-means
k-means算法是一种简单的迭代型聚类算法，采用距离作为相似性指标，从而发现给定数据集中的K个类，且每个类的中心是根据类中所有值的均值得到，每个类用聚类中心来描述。对于给定的一个包含n个d维数据点的数据集X以及要分得的类别K,选取欧式距离作为相似度指标，聚类目标是使得各类的聚类平方和最小，即最小化：
结合最小二乘法和拉格朗日原理，聚类中心为对应类别中各数据点的平均值，同时为了使得算法收敛，在迭代过程中，应使最终的聚类中心尽可能的不变。
4. 算法流程
K-means是一个反复迭代的过程，算法分为四个步骤：
1） 选取数据空间中的K个对象作为初始中心，每个对象代表一个聚类中心；
2） 对于样本中的数据对象，根据它们与这些聚类中心的欧氏距离，按距离最近的准则将它们分到距离离它们最近的聚类中心（最相似）所对应的类；
3） 更新聚类中心：将每个类别中所有对象所对应的均值作为该类别的聚类中心，计算目标函数的值；
4） 判断聚类中心和目标函数的值是否发生改变，若不变，则输出结果，若改变，则返回2）。
用以下例子加以说明：
图1 图2
图3 图4
图1：给定一个数据集；
图2：根据K = 5初始化聚类中心，保证 聚类中心处于数据空间内；
图3：根据计算类内对象和聚类中心之间的相似度指标，将数据进行划分；
图4：将类内之间数据的均值作为聚类中心，更新聚类中心。
最后判断算法结束与否即可，目的是为了保证算法的收敛。
二 python实现
首先，需要说明的是，我采用的是python3.4.3，和2.7还是有些出入。在此，用到了numpy和matplotlib库。
非常抱歉的是，装了许久的matplotlib,总是出现问题，无奈，这部分只能之后补全。
三 MATLAB实现
之前用MATLAB做过一些聚类算法方面的优化，自然使用它相比python更得心应手一点。根据算法的步骤，编程实现，直接上程序：
%%%K-means
clear all
clc
%% 构造随机数据
mu1=[0 0 0];
S1=[0.23 0 0;0 0.87 0;0 0 0.56];
data1=mvnrnd(mu1,S1,100); %产生高斯分布数据
%%第二类数据
mu2=[1.25 1.25 1.25];
S2=[0.23 0 0;0 0.87 0;0 0 0.56];
data2=mvnrnd(mu2,S2,100);
%第三个类数据
mu3=[-1.25 1.25 -1.25];
S3=[0.23 0 0;0 0.87 0;0 0 0.56];
data3=mvnrnd(mu3,S3,100);
mu4=[1.5 1.5 1.5];
S4=[0.23 0 0;0 0.87 0;0 0 0.56];
data4 =mvnrnd(mu4,S4,100);
%显示数据
figure;
plot3(data1(:,1),data1(:,2),data1(:,3),‘+‘);
title(‘原始数据‘);
hold on
plot3(data2(:,1),data2(:,2),data2(:,3),‘r+‘);
plot3(data3(:,1),data3(:,2),data3(:,3),‘g+‘);
plot3(data4(:,1),data4(:,2),data3(:,3),‘y+‘);
grid on;
data=[data1;data2;data3;data4];
[row,col] = size(data);
K = 4;
max_iter = 300;%%迭代次数
min_impro = 0.1;%%%%最小步长
display = 1;%%%判定条件
center = zeros(K,col);
U = zeros(K,col);
%% 初始化聚类中心
mi = zeros(col,1);
ma = zeros(col,1);
for i = 1:col
mi(i,1) = min(data(:,i));
ma(i,1) = max(data(:,i));
center(:,i) = ma(i,1) - (ma(i,1) - mi(i,1)) * rand(K,1);
end
%% 开始迭代
for o = 1:max_iter
%% 计算欧氏距离,用norm函数
for i = 1:K
dist{i} = [];
for j = 1:row
dist{i} = [dist{i};data(j,:) - center(i,:)];
end
end
minDis = zeros(row,K);
for i = 1:row
tem = [];
for j = 1:K
tem = [tem norm(dist{j}(i,:))];
end
[nmin,index] = min(tem);
minDis(i,index) = norm(dist{index}(i,:));
end
%% 更新聚类中心
for i = 1:K
for j = 1:col
U(i,j) = sum(minDis(:,i).*data(:,j)) / sum(minDis(:,i));
end
end
%% 判定
if display
end
if o >1,
if max(abs(U - center)) < min_impro;
break;
else
center = U;
end
end
end
%% 返回所属的类别
class = [];
for i = 1:row
dist = [];
for j = 1:K
dist = [dist norm(data(i,:) - U(j,:))];
end
[nmin,index] = min(dist);
class = [class;data(i,:) index];
end
%% 显示最后结果
[m,n] = size(class);
figure;
title(‘聚类结果‘);
hold on;
for i=1:row
if class(i,4)==1
plot3(class(i,1),class(i,2),class(i,3),‘ro‘);
elseif class(i,4)==2
plot3(class(i,1),class(i,2),class(i,3),‘go‘);
elseif class(i,4) == 3
plot3(class(i,1),class(i,2),class(i,3),‘bo‘);
else
plot3(class(i,1),class(i,2),class(i,3),‘yo‘);
end
end
grid on;
最终的结果如下图5和图6：
图5 原始数据 图6 聚类结果
总结：在这次程序的调试中，其实出现的问题还是蛮多的，相似度指标依旧选用的是欧氏距离。在之前，一直是按照公式直接计算的，可欧氏距离其实就是2范数啊，2范数属于酉不变范数，因此矩阵的2范数就是矩阵的最大奇异值，在求解过程中可以直接采用norm函数简化。
上图中的结果可以清晰的看到聚类效果还是挺理想的，要进一步验证的话，可以采取误差分布率或者NMI和ARI这些常用的准则进行衡量聚类结果的优劣，在此我也没有做计算，就此次试验的数据直观的从图上看来还是不错的。既然要验证，我会选取UCI数据库中经常使用的wine数据来进一步导入，结果如下：
这个结果可以说是挺不理想的，至于原因吧，有可能是数据的维数相对较多，有可能是算法本身性能的原因......在此我也不敢妄加猜测，明天再试试。
当然算法本身性能的原因是存在的，要不然怎么会有FCM等一系列算法的出现，这个以后会详细跟大家讨论的。
今天确实是熬得有点晚了，只是突然想写一篇，就赶到这么晚了，还有很多不足待完善......