堆排序的时间复杂度是
，具有空间原址性，即任何时候都只需要常数个额外的元素空间存储临时数据。
一、堆
二叉堆是一个数组，可看成一个近似的完全二叉树，树上的每个结点对应数组中的一个元素。除了最底层外，该树是完全充满的，而且是从左到右填充。
二叉堆可以分为两种形式：最大堆和最小堆。在最大堆中除根节点外所有结点i都要满足：
，即某个结点的值至多与其父结点一样大。在最小堆中除根节点外所有结点i都要满足：
。
说明：堆排序中，我们使用最大堆，最小堆通常用于构造优先队列。
二、维护堆的性质
函数MAX-HEAPIFY的输入为一个数组A和下标i，假定根节点为LEFT(i)和RIGHT(i)的二叉树都是最大堆，通过让A[i]的值在最大堆中逐级下降，从而使得以下标i为根结点的子树为最大堆。
函数MAX-HEAPIFY的时间代价包括：调整A[i]、A[LEFT[i]]和A[RIGHT[i]]关系的时间代价
，加上以一颗i的一个孩子为根结点的子树上运行MAX-HEAPIFY的时间代价（假设递归调用会发生）。
下面首先证明每个子树的大小至多为2n/3。
证明：设堆的高度为h，最后一层结点个数为m，则整个堆的结点总数为：
。
根结点的左子树结点总数为：
，
根结点的右子树结点总数为：
，其中
。
当最底层恰好半满的时候，
，则
，
。
解出：
，
。
因此，每个子树的大小至多为2n/3（最坏情况发生在树的最底层恰好半满的时候），MAX-HEAPIFY的运行时间为：
，解出
。
三、建堆
可以利用自底向上的方法利用MAX-HEAPIFY把一个大小为n的数组转换为最大堆，子数组A[n/2+1…n]中的元素都是叶子结点，每个叶子结点可看成只包含一个元素的堆。
可以简单估算函数BUILD-MAX-HEAP运行时间的上界。每次调用MAX-HEAPIFY的时间复杂度是
，BUILD-MAX-HEAP需要
次这样的调用，因此总的时间复杂度是
。
说明：
（1）这个上界虽然正确，但不是渐进准确的。因为不同结点运行MAX-HEAPIFY的时间与该结点的高度有关，且大部分结点高度都很小。可以证明能够在线性时间内
，把一个无序数组构造成为一个最大堆。
（2）也可以通过调用BUILD-MIN-HEAP在线性时间内，把一个无序数组构造成为一个最小堆。BUILD-MIN-HEAP与BUILD-MAX-HEAP完全相同。
（3）因为有n个结点，最后一个元素序号为n，那么它的parent结点应该是序号最大的parent结点，那么这个parent结点就为[n/2]，其之后都是叶子结点，为[n/2] + 1, [n/2] + 2, ..., n。
四、堆排序算法
思路：初始时，利用BUILD-MAX-HEAP将数组A[1…n]建成最大堆。因为数组中最大元素总在根结点A[1]中，通过它与A[n]进行互换，可让最大元素放到正确的位置。然后，从堆中去掉结点n，剩余结点中，原来根的孩子结点仍然是最大堆，新的根结点可能会违背最大堆的性质。为了维护最大堆的性质，调用MAX-HEAPIFY(A,1)，从而在A[1…n-1]上构造一个新的最大堆。堆排序算法会不断重复这个过程，直到堆的大小由n-1降为2。
HEAPSORT过程的时间复杂度是
，因为每次调用BUILD-MAX-HEAP的时间复杂度是
，而n-1次调用
MAX-HEAPIFY，每次的时间为
。
下面给出堆排序算法的参考程序:
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3
4 #define LEFT(i) 2 * i
5 #define RIGHT(i) 2 * i + 1
6
7 class MaxHeap
8 {
9 public:
10 void BuildMaxHeap(int *A, int len);
11 void MaxHeapfy(int *A, int i, int len);
12 void HeapSort(int *A, int len);
13 };
14
15 void MaxHeap::MaxHeapfy(int *A, int i, int len)
16 {
17 int left = LEFT(i);
18 int right = RIGHT(i);
19 int large;
20
21 if (left <= len && A[left - 1] > A[i - 1])
22 {
23 large = left;
24 }
25 else
26 {
27 large = i;
28 }
29
30 if (right <= len && A[right - 1] > A[large - 1])
31 {
32 large = right;
33 }
34
35 if (i != large)
36 {
37 int tmp = A[i - 1];
38 A[i - 1] = A[large - 1];
39 A[large - 1] = tmp;
40
41 MaxHeapfy(A, large, len);
42 }
43 }
44
45 void MaxHeap::BuildMaxHeap(int *A, int len)
46 {
47 for (int i = len / 2; i > 0; --i)
48 {
49 MaxHeapfy(A, i, len);
50 }
51 }
52
53 void MaxHeap::HeapSort(int *A, int len)
54 {
55 BuildMaxHeap(A, len);
56
57 for (int i = len; i > 1; --i)
58 {
59 int tmp = A[0];
60 A[0] = A[i - 1];
61 A[i - 1] = tmp;
62
63 MaxHeapfy(A, 1, i - 1);
64 }
65 }
66
67 //Test
68 int main()
69 {
70 MaxHeap Test;
71 int A[] = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7};
72
73 Test.HeapSort(A, 10);
74 for (int i = 0; i < 10; ++i)
75 {
76 cout << A[i] << " ";
77 }
78 cout << endl;
79
80 return 0;
81 }