Linear Classification
在上一讲里，我们介绍了图像分类问题以及一个简单的分类模型K-NN模型，我们已经知道K-NN的模型有几个严重的缺陷，第一就是要保存训练集里的所有样本，这个比较消耗存储空间；第二就是要遍历所有的训练样本，这种逐一比较的方式比较耗时而低效。
现在，我们要介绍一种更加强大的图像分类模型，这个模型会很自然地引申出神经网络和Convolutional Neural Networks(CNN)，这个模型有两个重要的组成部分，一个是score function，将原始数据映射到输出变量；另外一个就是loss function，衡量预测值与真实值之间的误差。
我们先看模型的第一部分，定义一个score function，将图像的像素值，映射到一个输出变量，这个输出变量表示图像属于每一类的置信度或者说概率，我们假设有一批训练图像，xi∈RD，每一个训练样本都有一个类标签yi，其中，i=1,2,...N，yi∈{1,2,...K},就是说，我们有
N个训练样本，这N个训练样本属于K个类别，我们要定义的score function就是满足如下映射:f:RD→RK，这里我们先介绍一种最简单常用的线性映射，如下所示：
f(xi,W,b)=Wxi+b
在上面的表达式中，xi是一个高维向量，包含一幅图像的所有像素，将图像从m×n×3变成D×1，矩阵W(K×D )和向量b(K×1)称为模型的参数，其中W叫做权值，而b称为偏移向量，我们用下面的图来表示这个映射过程:
为了能够视觉化这个过程，我们假设图像是只有四个像素（实际情况一般至少是几千个像素），将图像变成一个列向量然后与权值W相乘，在加上偏移向量b，最后得到score，从结果来看，这个分类模型将这幅图像判定为是一条狗。
下图展示了线性分类模型对图像分类的过程，因为我们不能将高维向量可视化，所以我们假设在二维平面观看这些图像，那么线性分类模型在各个类别之间的边界就有可能如下图所示：
从上面可以看出，W的每一行都相当于某一类的分类器，从几何意义上看，如果我们改变W中某一行的值，那么该行所对应的分类器将会发生旋转。对应权值W的另外一种解释就是每一行可以看成一种模板：template，一幅图像在每一类上的score可以通过template与该图像做内积获得，这种情况下，线性分类有点像是在做模板匹配，下图给出了在CIFAR-10数据库上利用线性分类模型学习得到的template，W的每一行都相当于一个template。实际运算的时候，我们也会把偏移向量b看成是W的某一列，这样原有的权值W和b组成新的权值W′=[W;b]，那么score function也可以由f(xi,W,b)变成f(xi,W)。
之前我们做运算和训练的时候，都是利用图像的原始数据，一般来说，我们需要做一些预处理，我们会将一个训练集里的所有样本做归一化。比如图像，将图像从[0,255]映射到
[-1,1]的范围，而且减去均值向量，保证训练集的均值为0。
我们已经介绍了score function，现在我们要介绍线性分类模型的另外一个重要组成部分：loss function，或者成为cost function，这个用来衡量预测值与目标值之间的误差。定义loss function的方式有很多，这里我们先介绍一种经常使用的loss function，叫做Multiclass Support Vector Machine (SVM) loss。简称 SVM loss，下面给出该函数的定义，假设训练集第i个样本的输入为xi，yi表示该样本属于第几类，利用score function f(xi,W)我们可以计算该样本xi属于每一类的score，比如f(xi,W)j表示样本xi属于第j类的score，那么该loss function定义为：
Li=∑j≠yimax(0,f(xi,W)j?f(xi,W)yi+Δ)
请注意，由于我们这里介绍的是线性模型f(xi,W)=Wxi，所以我们也可以将上式重新写成：
Li=∑j≠yimax(0,wTjxi?wTyixi+Δ)
其中，wTj表示W的第j行，如果是今后介绍的更加复杂的模型，上面这个表达式就不一定成立。上面的max(0,?)函数称为hinge loss，这是线性的hinge loss，有的时候也会用二次的hinge loss：max(0,?)2，下图解释了loss function的作用。Δ给出了其他类与某一类相差的界限，如果其他类与某一类相差的在这个界限之外，那么这些误差不会累计到loss function，反之，如果相差在界限范围内，这些误差就会累计到loss function，所以我们的目标就是寻找满足条件的参数W,使得训练样本都能被正确分类，并且让loss function尽可能地低。
为了进一步提升模型的稳健性，我们会引入regularization penalty，R(W)，最常见的形式是二次式：R(W)=∑i∑jW2ij，所以引入R(W)之后，loss
function就包含数据误差和regularization penalty两部分，如下式所示：
L=1N∑iLi+λR(W)
展开之后得到：
L=1N∑i∑j≠yi[max(0,f(xi,W)j?f(xi,W)yi+Δ)]+λ∑i∑jW2ij
通过引入regularization penalty，可以使得权值的分布更加平衡，不会单独侧重于某些局部变量。
前面我们忽略了Δ值的探讨，Δ应该选择多少比较合适？在实际应用中，我们发现把Δ设为1.0是非常安全的，事实上，参数Δ,λ都是控制loss function中数据偏差与regularization penalty之间的平衡的，因为W的幅值对score有直接的影响，如果我们把幅值增大，那么预测的score也会变大，反之同样成立，所以Δ设为1.0还是100.0对最终的数据偏差不会有太多影响，因为可以通过调整W的幅值来消除Δ大小带来的影响，因此，起关键作用的是λ，控制着W以多大的步幅变化。
Softmax classifier
前面介绍的SVM是线性分类器，现在我们介绍另外一种常用的非线性分类器，Softmax classifier。SVM将预测值看做是一种score，而Softmax classifier将预测值看成是一种概率，Softmax classifier的映射函数没有变化，还是f(xi;W)=Wxi，但是它的loss function采取了另外一种形式，称为cross-entropy loss，其定义如下：
Li=?log??efyi∑jefj??=?fyi+log∑jefj
这里，我们用fj表示对第j类的预测值，与SVM一样，整个训练集的loss function将是所有样本的平均loss加上regularization误差R(W)，函数fj(z)=ezj∑kezk称为softmax函数，它可以将一组实数映射到[0,1]之间，并且其和为1，从信息论的角度看，cross entropy衡量地是一个实际分布p和一个估计的分布q之间的相关性：
H(p,q)=?∑xp(x)log(q(x))
因此，Softmax分类器是缩小预测的每一类的概率与实际概率的cross entropy。
从概率的角度来看，我们可以看到表达式：
P(yi|xi;W)=efyi∑jefj
可以看做是给定一张图像，其属于某一类的概率，指数项给出了概率值，而分母的归一化保证概率在[0,1]之间，而且其和为1，这样我们可以引入最大似然估计去解释这个
模型，如果进一步的，我们假设W是属于某一特定分布，比如高斯分布，那么我们可以用最大后验概率估计去解释这个模型，这里提到这些，只是为了让大家对此有一个
直观的了解。实际编写程序的时候，由于指数运算可能会涉及到很大的值，可能会使得模型在数值上不够稳定，所以一般会引入一个常数项C，如下所示：
efyi∑jefj=CefyiC∑jefj=efyi+logC∑jefj+logC
C的选择没有特别地规定，可以自由选择，通常我们定义logC=?maxjfj。下图显示了SVM与Softmax分类器做图像分类的区别：
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