【线性代数】线性相关性、基和维数

一、线性相关性

什么情况下，向量X1，X2，……，Xn是线性无关的？

答：当向量X1，X2，……，Xn的线性组合(线性组合时系数不能全为0)不为零向量时，它们是线性无关的。即方程

不存在非零解。

对于一个矩阵A来说，当A总各列向量是线性无关时，则Ax=0的解只有0向量，即矩阵A的零空间只有零向量。 如果各列向量是相关的，则矩阵A的零空间中还存在一些其他的向量。

当矩阵A各列是线性无关的，则矩阵A各列都有主元，自由变量的个数为0。

二、空间的基

我们知道，矩阵各列的线性组合生成矩阵的列向量。但是，矩阵的各列有可能不是线性相关的。我们关心的是这样的一组向量：既能生成空间，又是线性无关的。这样的向量我们称为空间的基。

如果要确定一个空间，我们只需要知道该空间的基，就了解了该空间的所有信息。例如：在三维空间中，向量的一个基是：

当然，我们还可以写出其他的基，只需要满足基的两个性质：1、生成空间；2、线性无关。但是基中向量的个数是一样的。

对于一个n阶的方阵A的各列想要成为n维空间的基的话，该方阵必须是可逆的。

三、空间的维数

维数的定义：空间内任意基内向量个数称为空间的维数。

空间内所有的基内向量个数是相同的，都指空间的维数。

下面我们来举例说明上述概念：假设矩阵为A:

矩阵A的各列生成矩阵A的列空间。

矩阵A的各列不是A的列空间的基，因为它们线性相关，列空间的一个基是矩阵的第一、二列。

我们可以通过消元知道，该矩阵的秩为2，该列空间的维数为2。即矩阵的秩是列空间的维数！

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/40921209

作者：nineheadedbird