背景
看到有人在问这个问题，拿来算算。
自从有了CSDN-MarkDown之后，写博客舒服多了，尤其是数学公式部分。
原理
推荐的参考书是:
Schaum’s outline of Probability and Statistics, 3rd Edition, 2009; 科学出版社2002年翻译出版了该书的第二版，所以有中文版。
Continuous Variables
- Theorem: Let X be a continous random variable with probability density f(x). Let us define U=?(X) , where X=ψ(U)=??1(U)(反函数存在). Then the probability density of U is given by g(u), where:
g(u)|du|=f(x)|dx|
or
g(u)=f(x)∣∣∣dxdu∣∣∣=f[??1(u)]∣∣ψ′(u)∣∣
当连续随机变量是多维的情况下，联合分布密度函数是多元函数，这时候绝对值符号内对应于雅可比行列式。
- Theorem Let X and Y be continous random variables having joint density function f(x,y). Let us define U=?1(X,Y), V=?2(X,Y), where X=ψ1(U,V),Y=ψ2(U,V). Then the joint density function of U adn V is given by g(u,v), where:
g(u,v)|dudv|=f(x,y)|dxdy|
or
g(u,v)=f(x,y)∣∣∣?(x,y)?(u,v)∣∣∣=f(ψ1(u,v),ψ2(u,v))∣∣∣∣∣????∣∣∣∣∣?ψ1?u?ψ2?u?ψ1?v?ψ2?v∣∣∣∣∣????∣∣∣∣∣
举例
- Example 设X服从标准正态分布，则Y=1X服从何种分布（求概率密度函数）？如果存在，计算Y的数学期望。
- 解：
- …
直接套定理即可。
- 标准正态分布的概率密度函数：f(x)=12π??√e?x22
- y=?(x)=1x,x=??1(y)=ψ(y)=1y,
从而Y的概率密度函数：
g(y)=f(x)∣∣∣dxdy∣∣∣=f(??1(y))∣∣∣∣∣∣d(1y)dy∣∣∣∣∣∣=e?12y22π??√y2
用Mathematica比较下两个分布密度函数：
Plot[{E^(-(1/(2 x^2)))/(Sqrt[2 \[Pi]] x^2),E^(-(x^2/2))/Sqrt[2 \[Pi]]},{x,-5,5},PlotStyle->{Blue,Red},PlotPoints->150,AxesOrigin->{0,-.02},AxesStyle->Arrowheads[0.02],AxesLabel->{x,y},LabelStyle->Directive[Black,14,FontFamily->"Times"],TicksStyle->Directive[Black,14],AxesStyle->Directive[Black, 12],PlotLegends->{1/x,x}]图中红色为标准正态概率密度函数，蓝色为其倒数对应随机变量的概率密度函数。看上去即有些意外，又很无可厚非。
E(Y)=12π??√lima→+∞∫a?ae?12y2ydy
y=0 这个点有些特殊，似乎会导致被积函数无意义；不过从双侧极限 y→±0 的角度，在y=0被积函数仍都为0。挖掉 y=0，因为数学期望的被积函数都是奇函数，在对称的区间上积分时总是得到0、从而新随机变量的数学期望也是0，虽然看上去去掉了一个离散点不太光彩，却暂且是明智的处理方法。——去掉有限多个可去间断点，不影响大局。
时间： 2024-10-13 07:06:46