leetcode || 69、Sqrt(x)

problem:

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

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题意:计算平方根,没有指定精度,默认精度为0.00001

thinking:

(1)由于题中没有设置精度,提示使用二分法

(2)除了二分法,还可以使用牛顿迭代

code:

二分法:

class Solution{
    public:

int sqrt(int x) {
        unsigned long long begin = 0;
        unsigned long long end = (x+1)/2;
        unsigned long long mid;
        unsigned long long tmp;
        while(begin < end)
        {
            mid = begin + (end-begin)/2;
            tmp = mid*mid;
            if(tmp==x)return mid;
            else if(tmp<x) begin = mid+1;
            else end = mid-1;
        }
        tmp = end*end;
        if(tmp > x)
            return end-1;
        else
            return end;
    }
};

牛顿迭代:

为了方便理解,就先以本题为例:

计算x2 = n的解,令f(x)=x2-n,相当于求解f(x)=0的解,如左图所示。

首先取x0,如果x0不是解,做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线,与x轴的交点为x1

同样的道理,如果x1不是解,做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线,与x轴的交点为x2

以此类推。

以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。

判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法:

一是直接计算f(xi)的值判断是否为0,二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。

经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi),其中f‘(x)为f(x)的导数,本题中为2x。令切线方程等于0,即可求出xi+1=xi -
f(xi) / f‘(xi)。

继续化简,xi+1=xi - (xi- n) / (2xi) = xi -
xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi +
n/xi) / 2。

有了迭代公式xi+1= (xi + n/xi) / 2,程序就好写了。关于牛顿迭代法,可以参考wikipedia以及百度百科

class Solution {
public:
    int sqrt(int x) {
        if(x<0)
         return -1;
        double a=1.0;
        double check=0;
        do{
            a=(x/a+a)/2;
            check = a*a;
        }while(abs(check-x)>0.00001);
        return a;
    }
};

时间: 2024-10-03 19:32:59

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