problem:
Implement int sqrt(int x)
.
Compute and return the square root of x.
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题意:计算平方根,没有指定精度,默认精度为0.00001
thinking:
(1)由于题中没有设置精度,提示使用二分法
(2)除了二分法,还可以使用牛顿迭代
code:
二分法:
class Solution{ public: int sqrt(int x) { unsigned long long begin = 0; unsigned long long end = (x+1)/2; unsigned long long mid; unsigned long long tmp; while(begin < end) { mid = begin + (end-begin)/2; tmp = mid*mid; if(tmp==x)return mid; else if(tmp<x) begin = mid+1; else end = mid-1; } tmp = end*end; if(tmp > x) return end-1; else return end; } };
牛顿迭代:
为了方便理解,就先以本题为例:
计算x2 = n的解,令f(x)=x2-n,相当于求解f(x)=0的解,如左图所示。
首先取x0,如果x0不是解,做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线,与x轴的交点为x1。
同样的道理,如果x1不是解,做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线,与x轴的交点为x2。
以此类推。
以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。
判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法:
一是直接计算f(xi)的值判断是否为0,二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。
经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi),其中f‘(x)为f(x)的导数,本题中为2x。令切线方程等于0,即可求出xi+1=xi -
f(xi) / f‘(xi)。
继续化简,xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi -
xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi +
n/xi) / 2。
有了迭代公式xi+1= (xi + n/xi) / 2,程序就好写了。关于牛顿迭代法,可以参考wikipedia以及百度百科。
class Solution { public: int sqrt(int x) { if(x<0) return -1; double a=1.0; double check=0; do{ a=(x/a+a)/2; check = a*a; }while(abs(check-x)>0.00001); return a; } };
时间: 2024-10-03 19:32:59