A * B Problem Plus

题目链接：http://acm.split.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1402

FFT（模板题）

（FFT的详细证明参见算法导论第三十章）

一个多项式有两种表达方式：

1.系数表示法，系数表示的多项式相乘，时间复杂度为O（n^2）；

2.点值表示法，点值表示的多项式相乘，时间复杂度为O（n）.

简单的说，FFT能办到的就是将系数表示的多项式转化为点值表示，其时间复杂度为O（nlgn），而将点值表示的多项式转化为系数表示需要IFFT（FFT的逆运算），其形式与FFT相似，时间复杂度也为O（nlgn）.

这道题需要用FFT将两个大数转化为点值表示，相乘后再用IFFT将点值表示转化回系数表示，总时间复杂度为O（nlgn）.

代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<iostream>
 6 #define N 200005
 7 using namespace std;
 8 const double pi=acos(-1.0);
 9 struct Complex{
10     double r,i;
11     Complex(double r=0,double i=0):r(r),i(i){};
12     Complex operator + (const Complex &rhs){
13         return Complex(r+rhs.r,i+rhs.i);
14     }
15     Complex operator - (const Complex &rhs){
16         return Complex(r-rhs.r,i-rhs.i);
17     }
18     Complex operator * (const Complex &rhs){
19         return Complex(r*rhs.r-i*rhs.i,i*rhs.r+r*rhs.i);
20     }
21 }a[N],b[N],c[N];
22 char s1[N],s2[N];
23 int ans[N],n1,n2,len;
24 inline void sincos(double theta,double &p0,double &p1){
25     p0=sin(theta);
26     p1=cos(theta);
27 }
28 void FFT(Complex P[], int n, int oper){
29     for(int i=1,j=0;i<n-1;i++){
30         for(int s=n;j^=s>>=1,~j&s;);
31         if(i<j)swap(P[i],P[j]);
32     }
33     Complex unit_p0;
34     for(int d=0;(1<<d)<n;d++){
35         int m=1<<d,m2=m*2;
36         double p0=pi/m*oper;
37         sincos(p0,unit_p0.i,unit_p0.r);
38         for(int i=0;i<n;i+=m2){
39             Complex unit=1;
40             for(int j=0;j<m;j++){
41                 Complex &P1=P[i+j+m],&P2=P[i+j];
42                 Complex t=unit*P1;
43                 P1=P2-t;
44                 P2=P2+t;
45                 unit=unit*unit_p0;
46             }
47         }
48     }
49     if(oper==-1)for(int i=0;i<len;i++)P[i].r/=len;
50 }
51 void Conv(Complex a[],Complex b[],int len){//求卷积
52     FFT(a,len,1);//FFT
53     FFT(b,len,1);//FFT
54     for(int i=0;i<len;++i)c[i]=a[i]*b[i];
55     FFT(c,len,-1);//IFFT
56 }
57 void init(char *s1,char *s2){
58     len=1;
59     n1=strlen(s1),n2=strlen(s2);
60     while(len<2*n1||len<2*n2)len<<=1;
61     int idx;
62     for(idx=0;idx<n1;++idx){
63         a[idx].r=s1[n1-1-idx]-‘0‘;
64         a[idx].i=0;
65     }
66     while(idx<len){
67         a[idx].r=a[idx].i=0;
68         idx++;
69     }
70     for(idx=0;idx<n2;++idx){
71         b[idx].r=s2[n2-1-idx]-‘0‘;
72         b[idx].i=0;
73     }
74     while(idx<len){
75         b[idx].r=b[idx].i=0;
76         idx++;
77     }
78 }
79 int main(void){
80     while(scanf("%s%s",s1,s2)==2){
81         init(s1,s2);
82         Conv(a,b,len);
83         for(int i=0;i<len+len;++i)ans[i]=0;//93ms
84         //memset(ans,0,sizeof(ans));//140ms
85         int index;
86         for(index=0;index<len||ans[index];++index){
87             ans[index]+=(c[index].r+0.5);
88             ans[index+1]+=(ans[index]/10);
89             ans[index]%=10;
90         }
91         while(index>0&&!ans[index])index--;
92         for(;index>=0;--index)printf("%d",ans[index]);
93         printf("\n");
94     }
95 }