胡搞主定理

今天看算导，看到主定理这一块各种渐进、多项式大于小于什么的让我拙计，现在分享一下。

所谓主定理，就是用来解递归方程的一种方法，此方法可以用来求解大多数递归方程。

设递归方程为T(n)=aT(n/b)+f(n)  （其中a≥1，b＞1）

主定理：

（1）如果存在常数ε＞0有f(n)=O(n^(logb^a-ε)),则T(n)=Θ(n^(logb^a))；

（2）若f(n)=Θ(n^(logb^a))，则T(n)=Θ(n^(logb^a)logn2^n)；

（3）若对某个常数ε＞0有f(n)=Ω(n^(logb^a)+ε)，且对某个常数c＜1和所有足够大的n有af(n/b)≤cf(n)，则T(n)=Θ(f(n))。

其实这三条定理都是搞f(n)与logb^a的大小问题，但是相当蛋疼的是，我们可以发现，这个比大小很明显比的是多项式大小，所以就有可能看似这个比那个大但是在多项式意义上这个却不比那个大，这就相当坑爸爸了......

比如T(n)=2T(n/2)+nlog2^n，这个式子很明显就相当坑爹，虽然f(n)=nlog2^n渐进大于n^(logb^a)=n，但是却不是多项式大于。这就是我纠结了很长时间。后来找到了一种证明f(n)/n^(logb^a+ε)=nlog2^n/n^(1+ε)=n^(-ε)*log2^n，而对于任意正常数ε，没有可能使其等于1，这至少我还算可以接受。

算导上是那么说的，对于这个式子，对任意正常数ε，比值f(n)/n^(logb^a)=(nlog2^n)/n=log2^n，都渐进小于n^ε。这就让我比较难接受了，google告诉我者使用了洛必达法则的运算结果，目前我还没有成功证明这个证明方式是正确的，所以继续纠结中...