图——图的Kruskal法最小生成树实现

1，最小生成树的特征：

1，选取的边是图中权值较小的边；

2，所有边连接后不构成回路；

2，prim 算法是以顶点为核心的，最下生成树最大的特征是边，但 prim 算法非要以顶点为核心来进行，有些复杂和难以理解；

3，既然最小生成树关心的是如何选择 n - 1 条边，那么是否可以直接以边为核心进行算法设计？

4，简单尝试：

1，由 4 个顶点构成的图，选择 3 条权值最小的边；

2，还要设法避免回路；

5，需要解决的问题：

1，如何判断新选择的边与已选择的边是否构成回路？

6，技巧：前驱标记数组（避开新加入边造成回路问题）

1，定义数组：Array<int> p(vCount())；

2，定义数组元素的意义：

1，p[n] 表示顶点 n 在边的连接通路上的另一端顶点；

3，前驱标记数组究竟是怎么来的？

7，最小生成树算法的核心步骤（Kruskal）：

1，定义前驱标记数组：Array<int> p(vCount())；

2，获取当前图中的所有边，并存储于 edges 数组中；

3，对数组 deges 按照权值进行排序；

4，利用 p 数组在 edges 数组中选择前 n - 1 不构成回路的边；

8，Kruskal 算法流程：

9，关键的 find 查找函数：

10，最小生成树算法 Kruskal （克鲁斯卡）实现：

 1 　　 /* 最小、大生成树的 kruskal 算法 */
 2     SharedPointer< Array< Edge<E> > > kruskal(const bool MINMUM = true)
 3     {
 4         LinkQueue< Edge<E> > ret;  // 返回的队列
 5         SharedPointer< Array< Edge<E> > > edges = getUndirectedEdges();  // 将无相图中的所有边都拿到
 6         DynamicArray<int> p(vCount());  // 前驱标记数组
 7
 8         /* 设置前驱标记值 */
 9         for(int i=0; i<p.length(); i++)
10         {
11             p[i] = -1;
12         }
13
14         /* 对边数组排序 */
15         Sort::Shell(*edges, MINMUM);  // 第二个参数对边进行从大到小的次序排序，用来生成最大生成树
16
17         /* 进入循环，挑选边 */
18         for(int i=0; (i<edges->length()) && (ret.length() < (vCount()-1)); i++)  // 最多循环边的个数次，且如果边很多但已经有 N - 1 条边被选择了，那么结束循环
19 {
20             int b = find(p, (*edges)[i].b);  // 在前驱标记数组中查找挑选的边的两个顶点
21             int e = find(p, (*edges)[i].e);  // 前驱标记数组用于判断新选择的边是否会造成回路
22
23             if( b != e)  // 相等会构成回路
24             {
25                 p[e] = b;  // 修改前驱标记数组
26
27                 ret.add((*edges)[i]);  // 将这条边加入结果集合中去
28             }
29         }
30
31         if( ret.length() != (vCount()-1) )  // 判断边是否够，不够就不能构成最小生成树
32         {
33             THROW_EXCEPTION(InvalidOperationException, "No enough edges for Kruskal operation ...");
34         }
35
36         return toArray(ret);  // 将结果转换为数组
37     }

11，Kruskal 算法测试代码：

 1 #include <iostream>
 2 #include "MatrixGraph.h"
 3 #include "ListGraph.h"
 4
 5 using namespace std;
 6 using namespace DTLib;
 7
 8 template< typename V, typename E >
 9 Graph<V, E>& GraphEasy()
10 {
11 　　 static MatrixGraph<4, V, E> g;
12
13     g.setEdge(0, 1, 1);
14     g.setEdge(1, 0, 1);
15     g.setEdge(0, 2, 3);
16     g.setEdge(2, 0, 3);
17     g.setEdge(1, 2, 1);
18     g.setEdge(2, 1, 1);
19     g.setEdge(1, 3, 4);
20     g.setEdge(3, 1, 4);
21     g.setEdge(2, 3, 1);
22 　　 g.setEdge(3, 2, 1);
23
24     return g;
25 }
26
27 template< typename V, typename E >
28 Graph<V, E>& GraphComplex()
29 {
30 　　 static ListGraph<V, E> g(9);
31
32     g.setEdge(0, 1, 10);
33     g.setEdge(1, 0, 10);
34     g.setEdge(0, 5, 11);
35     g.setEdge(5, 0, 11);
36     g.setEdge(1, 2, 18);
37     g.setEdge(2, 1, 18);
38     g.setEdge(1, 8, 12);
39     g.setEdge(8, 1, 12);
40     g.setEdge(1, 6, 16);
41     g.setEdge(6, 1, 16);
42     g.setEdge(2, 3, 22);
43     g.setEdge(3, 2, 22);
44     g.setEdge(2, 8, 8);
45     g.setEdge(8, 2, 8);
46     g.setEdge(3, 8, 21);
47     g.setEdge(8, 3, 21);
48     g.setEdge(3, 6, 24);
49     g.setEdge(6, 3, 24);
50     g.setEdge(3, 7, 16);
51     g.setEdge(7, 3, 16);
52     g.setEdge(3, 4, 20);
53     g.setEdge(4, 3, 20);
54     g.setEdge(4, 5, 26);
55     g.setEdge(5, 4, 26);
56     g.setEdge(4, 7, 7);
57     g.setEdge(7, 4, 7);
58     g.setEdge(5, 6, 17);
59     g.setEdge(6, 5, 17);
60     g.setEdge(6, 7, 19);
61 　　 g.setEdge(7, 6, 19);
62
63     return g;
64 }
65
66 int main()
67 {
68     Graph<int, int>& g = GraphEasy<int, int>();
69 　　 SharedPointer< Array< Edge<int> > > sa = g.kruskal(65535);
70
71 　　 int w = 0;
72
73     for(int i=0; i<sa->length(); i++)
74     {
75         w += (*sa)[i].data;
76
77         cout << (*sa)[i].b << " " << (*sa)[i].e << " " << (*sa)[i].data << endl;
78 　　 }
79
80 　　 cout << "Weight: " << w << endl;
81
82     return 0;
83 }

13，小结：

1，Prim 算法以顶点为核心寻找最小生成树，不够直接；

2，Kruskal 算法以边为核心寻找最小生成树，直观简单；

3，Kruskal 算法中的关键是前驱标记数组的使用；

4，前驱标记数组用于判断新选择的边是否会造成回路；

原文地址：https://www.cnblogs.com/dishengAndziyu/p/10926585.html