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前面有一篇文章讨论过多坐标系的问题。有的人可能会问我那么多坐标系，它们之间怎么关联呢？嘿嘿~这次的内容可以为解决这个问题打基础奥！
线性变换基础（3D数学编程中，形式转换经常是错误的根源，所以这部分大家要多多思考，仔细运算）
一般来说，方阵（就是行和列都相等的矩阵）能描述任意的线性变换，所以后面我们一般用方阵来变换
其实简单的说，线性变换就是保留直线和平行线，原点没有移动，而其他的几何性质，如长度、角度、面积和体积可能被改变。
从视觉的直观角度上讲，线性变换可能“拉伸”坐标系，但不会“弯曲”和“卷折”坐标系（毕竟是“线性”的变换嘛，不然可能就叫做曲线变换了）。
下面先引入一个直观的变换例子：
先在单位基向量处画一个茶壶
然后我们给出一个变换矩阵
然后我们让这个茶壶的坐标按上面的矩阵经行变换
这个变换包含z轴顺时针旋转45°和不规则缩放。
在讨论具体的变换之前，还必须要搞清楚，我们到底要变换什么。在这里我们所提到的变换，其内容主要就两个：变换物体和变换坐标系。
变换物体，意味着变换物体上所有的点，这这点将被移动到一个新的位置，我们仍使用同一坐标系来描述变换前和变换后的位置。
变换坐标，意味着物体上的点实际没有移动，我们只是在另外一个坐标系中描述它的位置而已。
其实这两种变换实际上是等价的，将物体变换一个量等价于将坐标系变换一个相反的量。
ps:下面我们实现的变换都是物体变换
旋转
2D中绕原点旋转的参数只有一个：角度θ，它描述了旋转量。（逆时针旋转经常被认为是正方向，顺时针方向时负方向）
根据几何知识我们可知旋转矩阵应该为
在3D场景中，一般都是绕轴旋转，并且在绕轴旋转θ°时，必须知道哪个方向别认为“正”，哪个方向被认为“负”。
在左手坐标系中定义此方向的规则为左手规则
| 左手坐标系 | ||
| 从哪里看 | 正方向 | 负方向 |
| 从轴的负端点向正端点看 | 逆时针 | 顺时针 |
| 从轴的正端点向负端点看 | 顺时针 | 逆时针 |
绕轴变换中最为常见的就是绕坐标轴旋转
X轴
可得到变换矩阵
同理得到Y轴和Z轴的变换公式
Y轴
Z轴
ps：对于任意轴的旋转，可能等我们学完了平移，将任意轴平移旋转至坐标轴变换后在移后即可。
缩放
通过比例因子K按比例变大或缩小来缩放物体。
如果在各方向应用同比例的缩放，且沿原点“扩张”物体，那么就是均匀缩放。（均匀缩放可以保持物体的角度和比例不变）
如果需要挤压或拉伸物体，在不同方向应用不同的因子即可，这称作非均匀缩放。（非均匀缩放时，物体角度将发生变化）
ps：如果 |k|<1 ，物体将变短，如果 |k|>1，物体变长。如果 |k|=0，就是正交投影。
最简单的缩放方法是沿着每个坐标轴应用单独的缩放因子。
2D中有两个缩放因子，
和
。缩放矩阵为：
缩放实例
对于3D，需要增加第三个缩放因子
，3D缩放矩阵：
正交投影（平行投影）（投影意味着降维操作）
有一种投影方法是在某个方向上用零作为缩放因子。这种情况下，所有点都被拉平至垂直的轴或平面上，这种投影称作正交投影。
最简单的投影方式是向坐标轴或平面投影。
在2D环境下，向 x 轴投影
在2D环境下，向 y 轴投影
在3D环境下，向 xy 平面投影、向xz平面投影和向yz平面投影的矩阵
正交投影效果图
镜像（反射）
镜像是一种变换，起、其作用是将物体沿直线，或平面翻折。
ps：一个物体只能镜像一次，如果再次镜像物体将翻回正面，这和在原位置旋转物体的效果一样了。
在2D环境下，沿任意轴镜像的矩阵为
其中向量n为任意轴方向的单位向量，例如如果任意轴为x轴，则n=(1,0)，所以关于x轴的镜像矩阵为
在3D环境下，沿任意轴镜像的矩阵为
切变
切变是一种坐标系“扭曲”变换，非均匀地拉伸它。这是一种很少用到的变换，它也被称作扭曲变换。
切变的时候角度会发生变化，但是令人惊奇的是面积和体积却保持不变。
切变的基本实现思想是，某一坐标的乘积加到另一个坐标上去：x‘ = x + sy。
在2D环境下，x坐标根据坐标y以参数s控制切变方向和向量的切变矩阵
在2D环境下，y坐标根据坐标x以参数s控制切变方向和向量的切变矩阵
3D坐标中的切变矩阵两个坐标轴别另一个坐标轴改变的矩阵
-End-
参考文献：（1）《3D Math Primer for Graphics and Game Development》
（2）百度百科
3D数学读书笔记——矩阵基础番外篇之线性变换,布布扣,bubuko.com