每一点都是极大值点的函数

问题    设$f$定义在$\mathbb R$上,若$f$在每个点上都是极大值点,证明存在区间$I$使得$f$在$I$上常值.

证明    如果$f$在任何闭区间上都不常值,$\forall x_{1}\in \mathbb R$,由于它是极大值点,从而存在$a_{1}>0$使得当$$x\in I_{1}=B(x_{1},a_{1})$$

时恒有$f(x)\leq f(x_{1})$,既然$f$不为常值,那么存在$x_{2}\in B(x_{1},a_{1})$使得$$f(x_{2})<f(x_{1})$$

又$x_{2}$也是极大值点.从而存在$$0<a_{2}<\min\{\frac{a_{1}}{2},x_{2}-x_{1}+a_{1}\}$$使得当$$x\in I_{2}=B(x_{2},a_{2})\subset I_{1}$$

时恒有$f(x)\leq f(x_{2})$,类似的存在$x_{3}$满足……
按照上面的构造方式,我们可以得到一闭区间序列$$I_{n}=B(x_{n},a_{n})\subset I_{n-1},f(x_{n})<f(x_{n-1}),a_{n}<\frac{a_{n-1}}{2}$$显然满足闭区间套定理的条件.假设套住的点为$x_{0}$,显然$x_{0}$不是极大值点.矛盾!

注记    此处极大值的条件若改为仅为极值,那么结论未必成立.反例是Riemann函数.