1）最小生成树
给定一个无向图，如果它的某个子图中任意两个顶点都互相连通并且是一棵树，那么这棵树就叫生成树。如果边上有权值，那么使得边权和最小的生成树叫做最小生成树（MST,Minimum Spanning Tree）
2）应用
比如让你为一个镇的九个村庄架设通信网络，每个村庄相当于一个顶点，权值是村与村之间可通达的直线距离，要求你必须用最小的成本完成这次任务；或者村庄之间建公路，连通N个村庄要N-1条路，如何让建路成本最低之类的问题。
1、Prim算法
①该算法是构建最小生成树的算法之一。它是以某顶点为起点，不断添加各顶点上最小权值的边，来构建最小生成树。
②算法流程：
第一步：设图G顶点集合为U，首先任意选择图G中的一点作为起始点a，将该点加入集合V；
第二步：从集合U中找到另一点b使得点b到V中任意一点的权值最小，此时将b点也加入集合V；
以此类推，现在的集合V={a，b}，再从集合U中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小，此时将c点加入集合V；直至所有顶点全部被加入V，此时就构建出了一棵MST。
③参考代码：
#include <iostream>
#include <string.h>
#define INT_MAX 1000000000
using namespace std;
int matrix[100][100];//邻接矩阵
bool visited[100];//标记数组
int path[100];//记录生成树路径
int lowcost[100];//边的权值
int vertex_num,arc_num;//顶点数，弧数
int sum;//权值总和
int source;//源点
void prim(int source);
int main()
{
cout << "请输入图的顶点数（<=100）：";
cin >> vertex_num;
cout << "请输入图的弧数：";
cin >> arc_num;
for (int i = 0; i < vertex_num; i++)
for (int j = 0; j < vertex_num; j++)
matrix[i][j] = INT_MAX; //初始化matrix数组
cout << "请输入弧的信息：\n";
int u, v, w;
for (int i = 0; i < arc_num; i++)
{
cin >> u >> v >> w;
matrix[u][v] = matrix[v][u] = w;
}
cout << "请输入起点（<" << vertex_num << "）：";
cin >> source;
prim(source);
cout << "最小生成树权和为：" << sum << endl;
cout << "最小生成树路径为：\n";
for (int i = 0; i < vertex_num; i++)
if (i != source)
cout << i << "----" << path[i] << endl;
return 0;
}
void prim(int source){
memset(visited,0,sizeof(visited));
visited[source]=true;
for(int i=0;i<vertex_num;i++){
lowcost[i] = matrix[source][i];
path[i]=source;
}
int min_cost,min_cost_index;//最小的权值，和其下标
sum=0;
for(int i=1;i<vertex_num;i++){//找除源点外的n-1个点,如果这里写多了，
//那么下边的for里if进不去，那么sum的值也会错误
min_cost=INT_MAX;
for(int j=0;j<vertex_num;j++){//遍历所有顶点
if(visited[j]==false&&lowcost[j]<min_cost){//找到与源点的权值最小的点
min_cost=lowcost[j];
min_cost_index=j;
}
}
visited[min_cost_index]=true;//讲找到的顶点进行标记
sum+=min_cost;//权值总和
for(int j=0;j<vertex_num;j++){
if(visited[j]==false&&matrix[min_cost_index][j]<lowcost[j]){//更新lowcost，以便找下个顶点
lowcost[j]=matrix[min_cost_index][j];
path[j] = min_cost_index;
}
}
}
}
摘自http://www.61mon.com/index.php/archives/199/comment-page-1#comments
2、Kruskal算法
①该算法是构建最小生成树的另一个算法，其是对边进行操作，来构建最小生成树的。
②算法流程：
第一步：把所有的边按权值从小到大排列。
第二步：按照顺序选取每条边，如果这条边的两个端点不属于同一集合，那么就将它们合并。
重复第二步，直到 所有的点都属于同一个集合。
第二步用并查集来实现，又因为每次都选的权值最小的，所以这其实就是运用并查集的贪心算法。
③为什么这样做就可以构建最小生成树呢？因为N个顶点只需要N-1条边就够了，那么选哪N-1条呢，为了让权值和最小，当然选从小到大排序的前N-1条边喽。
④参考代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX_INT 100
using namespace std;
struct Edge{//边
int a;//边上的两个点
int b;
int weight;//权值
}edge[MAX_INT];
int par[MAX_INT];//i的父亲的编号
int rank[MAX_INT];//i的高度
void init(int n);//初始化
int find(int x);//查找根节点并且压缩路径
bool unite(int x,int y);//合并
bool compare(const Edge&a,const Edge&b);
int vertex_num,arc_num;//顶点数，弧数
int case_num;//测试组数
int sum;//权值总和
int main()
{
cout<<"请输入测试组数："<<endl;
cin>>case_num;
while(case_num){
sum=0;
cout<<"请输入顶点数和弧数:"<<endl;
cin>>vertex_num>>arc_num;
init(vertex_num);
cout<<"请输入"<<arc_num<<"条弧的信息："<<endl;
for(int i=0;i<arc_num;i++){
cin>>edge[i].a>>edge[i].b>>edge[i].weight;
}
sort(edge,edge+arc_num,compare);
cout<<"最小生成树的路径为:"<<endl;
int j;
for(j=0;j<arc_num;j++){
if(unite(edge[j].a,edge[j].b)){
sum+=edge[j].weight;
cout<<edge[j].a<<"----"<<edge[j].b<<" "<<edge[j].weight<<endl;
}
}
if(j==arc_num){
cout<<"最小生成树的权值和为："<<sum<<endl;
}else if(j<arc_num){
cout<<"data error!"<<endl;
}
case_num--;
}
return 0;
}
void init(int n){
for(int i=0;i<n;i++){
par[i]=i;//父节点都先初始化为自己
rank[i]=0;//高度初始化为0
}
}
int find(int x){
if(x==par[x]){
return x;
}else{
return par[x]=find(par[x]);
}
}
bool unite(int x,int y){
x=find(x);
y=find(y);
if(x==y){
return false;
}else{
if(rank[x]<rank[y]){
par[x]=y;
}else{
par[y]=x;
if(rank[x]==rank[y])
rank[x]++;
}
return true;
}
}
bool compare(const Edge&a,const Edge&b){//按从小到大的顺序排序
return a.weight<b.weight;
}
代码参考自：http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6689285
3、Kruskal算法和Prim算法的区别（或者说什么时候用Prim什么时候用Kruskal）？
关于这个问题，我也不是很明白，后续会补充，欢迎在评论区写下自己对此的理解，一起来讨论下吧??
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