编程题-最小向量内积-（1）

有两个向量v1=(x1,x2,...,xn)和v2=(y1,y2,...,yn),允许任意交换v1和v2各自的分量的顺序，计算v1和v2的内积x1y1+x2y2+...+xnyn的最小值

样例：

输入：

n=3

v1=(1,3,?5)

v2=(?2,4,1)

输出:

-25

( 令v1=(?5,1,3)，v2=(4,1,?2) )

首先我第一感觉就是，要保证最小，

1.如果在有正有负的情况下，那么有最大的正数乘以最小的负数，

2.如果都是正数，用最大的正数乘以最小的正数，

3.如果都是负数，用最大的负数数乘以最小的负数，

其实以上的3个条件就是两个向量分别按照升序和降序排列，得到的内积最小

按照上面的方法，不断的从v1和v2取出配对的量，最后得出的结果可能是最优的结果。

举个样例试一试

v1=(x1,x2) ,v2=(y1,y2)

如果v1已经是按照升序排列，即x1≤x2,比较 x1×y1+x2×y2 和x1×y2+x2×y1的大小

(x1×y1+x2×y2)?(x1×y2+x2×y1)

=(x1(y1?y2)+x2(y2?y1))

=(x1?x2)(y1?y2)

可以看出，如果y1<y2,即x1×y1+x2×y2>x1×y2+x2×y1

意味着，我们可以通过交换y1和y2的位置得到一个更小的向量内积值

延伸到 n>2

我们也同样把V1按照升序排列，对于v2如果存在 i<j,并且yi<yj我们可以通过交换yi和yj的位置，得到一个更小的例子

x1y1+...+xiyi+...+xjyj+...+xnyn>x1y1+...+xiyj+...+xjyi+...+xnyn

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
int compare(int a,int b)
{
    return a>b;
}
int main()
{
    int n,i;
    cout<<"input n: ";
    cin>>n;
    cout<<endl;
    cout<<"input v1 :"<<endl;
    int *v1=new int[n];
    int *v2=new int[n];
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>v1[i];
    }
    cout<<"input v2 :"<<endl;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>v2[i];
    }
    //v1 升序
    sort(v1,v1+n);
    //v2 降序
    sort(v2,v2+n,compare);
    int min=0;
    for(i=0;i<n;i++){
        min+=v1[i]*v2[i];
    }
    cout<<"minimum is :"<<min<<endl;
    delete [] v1;
    delete [] v2;
    return 0;
}

input n: 3

input v1 :
1 3 -5
input v1 :
-2 4 1
minimum is :-25