BZOJ3853: GCD Array

题目：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3853

题解：我们发现直接修改是肯定不行的。因为一次有可能修改的很多。而且编号也是不连续的。

搬运题解：

{

注意到给所有gcd(x,n)==d的数加上v等价于给每个数加上[gcd(x,n)==d]*v，而我们可以发现：

[gcd(x,n)==d]*v =>

[gcd(x/d,n/d)==1] *v=>

sigma(mu[q] * v) (q | n/d && q | x/d)

=> sigma(mu[q] * v) (q | n/d && q*d | x)

其中mu是莫比乌斯函数

我们可以构造一个数组f，让a[i] == sigma(f[j]) (j | i)，然后修改操作就变成了：对所有满足条件的q，让f[q*d]加上mu[q] * v，那么根据f数组的性质，我们每个a[i]就能很顺利的加上[gcd(x,n)==d]*v了。

}

其实这相当与我们把修改和查询都往前推了一下，推到了一个公共的部分，然后发现这个部分维护所需时间在允许范围内。so。。。

这题的思想还需要领悟。。。

代码：

  1 #include<cstdio>
  2
  3 #include<cstdlib>
  4
  5 #include<cmath>
  6
  7 #include<cstring>
  8
  9 #include<algorithm>
 10
 11 #include<iostream>
 12
 13 #include<vector>
 14
 15 #include<map>
 16
 17 #include<set>
 18
 19 #include<queue>
 20
 21 #include<string>
 22
 23 #define inf 1000000000
 24
 25 #define maxn 200000
 26
 27 #define maxm 200000+5
 28
 29 #define eps 1e-10
 30
 31 #define ll long long
 32
 33 #define pa pair<int,int>
 34
 35 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
 36
 37 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
 38
 39 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
 40
 41 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
 42
 43 #define for4(i,x) for(int i=head[x],y=e[i].go;i;i=e[i].next,y=e[i].go)
 44
 45 #define for5(n,m) for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)
 46
 47 #define mod 1000000007
 48
 49 using namespace std;
 50
 51 inline int read()
 52
 53 {
 54
 55     int x=0,f=1;char ch=getchar();
 56
 57     while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
 58
 59     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=10*x+ch-‘0‘;ch=getchar();}
 60
 61     return x*f;
 62
 63 }
 64 int n,m,mu[maxn+1],p[maxn],tot;
 65 ll s[maxn];
 66 bool v[maxn+1];
 67 vector<int>fac[maxn+1];
 68 inline void add(int x,int y)
 69 {
 70     for(;x<=n;x+=x&(-x))s[x]+=y;
 71 }
 72 inline ll sum(int x)
 73 {
 74     ll t=0;
 75     for(;x;x-=x&(-x))t+=s[x];
 76     return t;
 77 }
 78 inline void get()
 79 {
 80     mu[1]=1;
 81     for2(i,2,maxn)
 82     {
 83         if(!v[i])p[++tot]=i,mu[i]=-1;
 84         for1(j,tot)
 85         {
 86             int k=i*p[j];
 87             if(k>maxn)break;
 88             v[k]=1;
 89             if(i%p[j])mu[k]=-mu[i];
 90             else {mu[k]=0;break;}
 91         }
 92         //cout<<i<<‘ ‘<<mu[i]<<endl;
 93     }
 94     for1(i,maxn)
 95      for(int j=i;j<=maxn;j+=i)
 96       fac[j].push_back(i);
 97 }
 98
 99 int main()
100
101 {
102
103     freopen("input.txt","r",stdin);
104
105     freopen("output.txt","w",stdout);
106     get();
107
108     for1(cs,inf)
109     {
110         n=read();m=read();
111         if(!n&&!m)break;
112         printf("Case #%d:\n",cs);
113         memset(s,0,sizeof(s));
114         while(m--)
115         {
116             int op=read();
117             if(op==1)
118             {
119                 int x=read(),y=read(),z=read();
120                 if(x%y)continue;
121                 x/=y;
122                 for3(i,fac[x].size()-1,0)add(fac[x][i]*y,mu[fac[x][i]]*z);
123             }else
124             {
125                 int t=read();ll ans=0;
126                 for(int i=1,j;i<=t;i=j+1)
127                 {
128                     j=t/(t/i);
129                     ans+=(ll)t/i*(sum(j)-sum(i-1));
130                 }
131                 printf("%lld\n",ans);
132             }
133         }
134     }
135
136     return 0;
137
138 }