[问题2014S11] 解答
我们先引用一下复旦高代书 P310 的习题 6, 其证明可参考白皮书 P257 的例 8.33：
习题6 设实二次型 f(x1
,x
2
,?,x
n
)=y
2
1
+?+y
2
k
?y
2
k+1
???y
2
k+s
, 其中 yi
=a
i1
x
1
+a
i2
x
2
+?+a
in
x
n
(i=1,2,?,k+s)
, 求证: f
的正惯性指数 p≤k
, 负惯性指数 q≤s
.
把上述结论转化为实对称阵的语言, 马上可以得到如下引理：
引理 设 A
为 m
阶实对称阵, C
为 m×n
阶实矩阵, 则 p(A)≥p(C′
AC)
, q(A)≥q(C′
AC)
, 其中 p(?),q(?)
分别表示正负惯性指数.
回到本题的证明.
考虑 2n
阶实对称阵 [A0
0
B
]
以及 2n×n
阶实矩阵 [ In
I
n
]
, 则有
[In
I
n
][A
0
0
B
][I
n
I
n
]=A+B.
由上述引理即得
p(A)+p(B)=p([A0
0
B
])≥p(A+B);
q(A)+q(B)=q([A0
0
B
])≥q(A+B),
故结论得证. □
时间： 2024-12-22 00:42:51