RMQ-ST算法

　　RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题。最简单的算法就是对每次查询进行一次遍历，复杂度为O(QN)，其中Q为查询的次数。当然有效率更高的算法。RMQ-ST算法。

　　在线算法（ST算法）解决这个问题。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

　　首先是预处理，用动态规划（DP）解决。设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。 F[1，2]=5，F[1，3]=8，F[2，0]=2，F[2，1]=4……从这里可以看出F[i,0]其实就等于A[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。然后是查询。取k=[log2(j-i+1)]，则有：RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 举例说明，要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。

题目详见#1068 : RMQ-ST算法，附上AC代码。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <fstream>
using namespace std;

const int N = 10e6+10;
const int M = 30;
int arrayData[N];
int rmqData[N][M];
int n,m;
int min(int x, int y){
    return (x <y ? x : y);
}
void RMQ(){
    int i, j;
    for (i = 0; i < n; i++){
        rmqData[i][0] = arrayData[i];
    }
    for (j = 1; j <=m; j++){
        for (i = 0; i+(1 << j)-1 <n; i++){
            rmqData[i][j] = min(rmqData[i][j - 1], rmqData[i + (1<<(j - 1))][j - 1]);
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d", &n);
    int i, j;
    for (i = 0; i < n; i++){
        scanf("%d", &arrayData[i]);
    }
    m = (log(n*1.0) / log(2.0));

    RMQ();

    int q;
    scanf("%d", &q);
    for (i = 0; i < q; i++){
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        l = l - 1;
        r = r - 1;
        int k=0;
        while ((1 << (k + 1)) <= (r - l + 1)) k++;
        printf("%d\n", min(rmqData[l][k], rmqData[r-(1<<k)+1][k]));
    }
    return 0;
}