前言
最近在学习一些玄学的数学知识(如莫比乌斯反演和杜教筛)时,我发现自己对于一些数学的理论知识了解得还不够多(不像\(XRY\)奆佬一样初一就把大学数学学完了),于是决定好好去学习一下这面的知识。
例如关于积性函数的知识,就是比较重要的一块内容。
定义
什么是积性函数?
其实它的定义还是很好理解的:若对于一个数论函数\(f(x)\),已知\(f(x)=1\),且对于任意互质的正整数\(p,q\)都满足\(f(pq)=f(p)f(q)\),则称该函数\(f(x)\)为一个积性函数。
这么说来,貌似我们比较常用的如\(\phi(n)\)和\(\mu(n)\)等函数似乎都属于积性函数。
实际上,我们平时常见的一些数论函数实际上都属于积性函数!
由此可见积性函数之重要性。
常见种类
下面我们介绍一些比较常见的积性函数:
欧拉函数:\(\phi(n)\)
该函数表示的是不大于\(n\)且与\(n\)互质的数的个数。
表达式:\(\phi(n)=\sum_{i=1}^n[gcd(n,i)==1]\)
莫比乌斯函数:\(\mu(n)\)
关于它可以去看看这一篇博客:初学莫比乌斯反演。
约数个数:\(d(n)\)
表达式:\(d(n)=\sum_{i|n} 1\)
约数和函数:\(\sigma(n)\)
表达式:\(\sigma(n)=\sum_{i|n}i\)
一些完全积性函数
下面介绍一些比较简单、但是用处很大的完全积性函数。(关于它们的用处可以参考博客初学狄利克雷卷积)
对了,首先要讲一讲什么是完全积性函数。
上面在积性函数的定义中提到,对于任意互质的正整数\(p,q\)满足\(f(pq)=f(p)f(q)\)的函数是积性函数,而把"互质"这个条件去掉,得到的函数就是完全积性函数。
常见的完全积性函数有一下几个:
元函数:\(e(n)\)
表达式:\(e(n)=[n==1]\)
(不知道是否有人跟我一样想到了莫比乌斯函数的某个性质:\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]\))
恒等函数:\(I(n)\)
表达式:\(I(n)=1\)
单位函数:\(id(n)\)
表达式:\(id(n)=n\)
后记
关于积性函数的一些知识差不多就是这些了。
关于更多的内容,可以去看一下另一篇博客:初学狄利克雷卷积,里面也涉及到一些与积性函数相关的内容。
原文地址:https://www.cnblogs.com/chenxiaoran666/p/MultyFunction.html