计算几何/半平面交
本来我是想去写POJ 1755的,然后想起了这道跟它很像的题,但应该是弱化版,所以就先写了这个……
我们可以发现每个人的总用时,与k是呈一次函数关系的:$time_i=\frac{k}{Vrun_i}+\frac{S-k}{Vride_i}$
然而我们要找的是某个k,使得$min(time_n-time_i)$最大
那么就是一个线性规划问题了……这个也可以用半平面交来做……(蒟蒻并不会单纯形)
下面的部分为了偷懒简洁我就用$a_i$和$b_i$来代替两种速度……
我一开始想的做法是:维护一个$y=(\frac{1}{a_i}-\frac{1}{b_i})*x+\frac{S}{b_i}$的最小值(上凸壳?),然后由于线性分段函数的极值一定在分界点处取到(BZOJ 1038 瞭望塔),所以可以枚举分界点计算答案。
然而不会写……后来膜拜了lyd神犇的代码,发现:
这题$n\leq 100$,所以找到可能成为分界点的点,即所有直线的交点,暴力更新答案就好了……
然后还有一个地方是将不等式重新变形了一下,将第n条直线直接减到前面n-1条直线中……
无限ym……
1 /************************************************************** 2 Problem: 2765 3 User: Tunix 4 Language: C++ 5 Result: Accepted 6 Time:40 ms 7 Memory:1276 kb 8 ****************************************************************/ 9 10 //BZOJ 2765 11 #include<cmath> 12 #include<cstdio> 13 #include<cstring> 14 #include<cstdlib> 15 #include<iostream> 16 #include<algorithm> 17 #include<iomanip> 18 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i) 19 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i) 20 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i) 21 using namespace std; 22 23 const int N=110; 24 /*******************template********************/ 25 typedef long double lf; 26 #define eps 1e-12 27 int n,num; 28 lf a[N],b[N],c[N],d[N],S,anst,ansk; 29 30 void calc(lf k){ 31 lf t=1e100; 32 F(i,1,n-1) t=min(t,k*c[i]+d[i]); 33 if (t>anst) anst=t,ansk=k; 34 } 35 36 int main(){ 37 #ifndef ONLINE_JUDGE 38 freopen("2765.in","r",stdin); 39 // freopen("2765.out","w",stdout); 40 #endif 41 cin >>S>>n; 42 F(i,1,n) cin >> a[i] >> b[i]; 43 F(i,1,n-1){ 44 c[i]=1/a[i]-1/b[i]-1/a[n]+1/b[n]; 45 d[i]=S/b[i]-S/b[n]; 46 } 47 48 anst=-1e100; 49 F(i,1,n-1) F(j,i+1,n-1){ 50 if (fabs(c[i]-c[j])<eps) continue; 51 lf k=(d[j]-d[i])/(c[i]-c[j]); 52 if (k<eps || k>S-eps) continue; 53 calc(k); 54 } 55 calc(0); calc(S); 56 anst*=3600; 57 if (anst<-eps) puts("NO"); 58 else{ 59 if (anst<eps) anst=0; 60 cout<<setprecision(2)<<fixed<<ansk<<‘ ‘<<S-ansk<<‘ ‘; 61 cout<<setprecision(0)<<fixed<<anst<<endl; 62 } 63 return 0; 64 }
2765: [JLOI2010]铁人双项比赛
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 477 Solved: 117
[Submit][Status][Discuss]
Description
铁
人双项比赛是吉林教育学院的一项传统体育项目。该项目比赛由长跑和骑自行车组成,参赛选手必须先完成k公里的长跑,然后完成r公里的骑车,才能到达终点。
每个参赛选手所擅长的项目不同,有的擅长长跑,有的擅长骑车。如果总赛程s=k+r一定,那么K越大,对擅长长跑的选手越有利;k越小,对擅长骑车的选手
越有利。
现在给定总赛程s,以及每个选手长跑和骑车的平均速度,请你求出对于某个指定的选手最有利的k和r。所谓最有利,是指选择了这个k和r后,该选手可以获得冠军,且领先第2名尽量地多。
Input
你的程序从文件读入输入数据。
输入的第一行是两个正整s和n,s表示总赛程(单位为公里,s≤231),n表示参赛总人数(2≤n≤100)。
接下来的n行每行是两个实数,分别表示每个选手长跑的平均速度和骑车的平均速度(单位为千米/小时)。
第n个选手就是指定的选手,你的任务是求出对他最有利的k和r。
Output
你的程序的输出包括三个数k,r, t,分别表示对第n号选手最有利的k和r(浮点数,保留小数点后2位),以及在选择k和r的情况下,第n号选手最多可以领先第2名多少秒(四舍五入到整数);如果另一个选手和该选手并列第一,则t i=0。倘若无论选择什么k,r都不能使第n号选手获胜,则输出“NO”。
Sample Input
100 3
10.0 40.0
20.0 30.0
15.0 35.0
Sample Output
14.29 85.71 612