编译器实践四 之 FIRST集合，NULLABLE集合，FOLLOW集合

闲来无事，就把龙书拿出来有看了看，把最近学的总结一下。

FIRST(X)集合定义：可从X推导得到的串的首符号的集合，其中X是任意文法符号。如果X=>······=>ε ，那么ε也在FIRST(X)中。（定义来自龙书）

算法伪代码(非准确版)：

<span style="font-size:14px;">foreach(nonterminal N)
	FIRST(N) = {}
while(some set is changing)
	foreach (production p: N->β1 … βn)
	if (β1== a …)
		FIRST(N)∪= {a}
	if (β1== M …)
		FIRST(N)∪= FIRST(M)</span>

算法还是很好理解的，对于每一个产生式A->B1 B2···BN ，如果B1是终结符，则FIRST(A) U= {B1}，若B1是非终结符则FIRST(A) U= FIRST(B1)，这里用到了递归来求解。只要当前集合出现变化，第二层循环就再来一次，一直到没有集合都没有变化为止。这算一个不动点算法。

NULLABLE集合的归纳定义：

1基本情况：

X ->ε

2归纳情况:

X -> Y1 … Yn

Y1, …, Yn 是n个非终结符，且都属于NULLABLE集

算法伪代码：

<span style="font-size:14px;"></span><pre name="code" class="cpp">NULLABLE = {};
while (NULLABLE is still changing)
    foreach (production p: X-> β)
        if (β== ε)
            NULLABLE ∪= {X}
        if (β== Y1 … Yn)
            if (Y1∈ NULLABLE && … && Yn ∈NULLABLE)
                NULLABLE ∪= {X}

这个很好理解吧。

我们先不急看FOLLOW集合，再看看先前FIRST的伪代码吧，这哥伪代码粗略一看，感觉是对的，可是一细想，如果说B1是非终结符，但是如果B1->ε成立的话，那么是否要往后考虑一下？答案是正确的，这时还要FIRST(X) U= FIRST(B2)，如果B2->ε仍然成立的话，继续FIRST(X)
U= FIRST(B3)，，依次类推。

新的求FIRST集合伪代码：

foreach(nonterminal N)
	FIRST(N) = {}
while(some set is changing)
	foreach (production p: N->β1 … βn)
		foreach (βi from β1 upto βn)
			if (βi== a …)
				FIRST(N) ∪= {a}
				break
			if (βi== M …)
				FIRST(N)∪= FIRST(M)
				if (M is not in NULLABLE)
					break

接下来就是FOLLOW集合了:

对于非终结符号X，FOLLOW(A) 被定义为可能在某些句型中紧跟在X右边的总结符号集合。（定义来自龙书）

举个例子：如果存在S=>aBcd(a,b,d是文法符号串),这样c就在FOLLOW(B)中。

FOLLOW集的不动点算法：

<span style="font-size:14px;">foreach(nonterminal N)
	FOLLOW(N) = {}
while(some set is changing)
	foreach (production p: N->β1 … βn)
		temp = FOLLOW(N)
		foreach (βi from βn downto β1) // 逆序！
			if (βi== a …)
				temp = {a}
			if (βi== M …)
				FOLLOW(M)∪= temp
				if (M is not NULLABLE)
					temp = FIRST(M)
				else
					temp∪= FIRST(M)
</span>

好的，完成了这一步，我们就可以得到任意串的FIRST集合，

如下伪代码：

foreach(production p)
	FIRST_S(p) = {}
calculte_FIRST_S(production p: N->β1 … βn)
	foreach (βi from β1 to βn)
		if (βi== a …)
			FIRST_S(p)∪= {a}
			return;
		if (βi== M …)
			FIRST_S(p)∪= FIRST(M)
			if (M is not NULLABLE)
				return;
	FIRST_S(p)∪= FOLLOW(N)

好了，就总结到这里。

若有错误的地方，水平有限，还望指出。

谢谢

与君共勉

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