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最近参加了Coursera的课程，Stanford大学的《算法：设计与分析》。这是一门非常值得学习的课程。在老师布置的作业中，有这样一道题目：
The goal of this problem is to implement a variant of the 2-SUM algorithm .
The file contains 1 million integers, both positive and negative (there might be some repetitions!).This is your array of integers, with the ith row
of the file specifying the ith entry
of the array.
Your task is to compute the number of target values t in the interval [-10000,10000] (inclusive) such that there are distinct numbers x,yin
the input file that satisfy x+y=t.
(NOTE: ensuring distinctness requires a one-line addition to the algorithm from lecture.)
Write your numeric answer (an integer between 0 and 20001) in the space provided.
题目所提供的包含100万个integer的文件，我已经上传到这个github项目里-->点这里。这个项目就是此问题的Objective-C代码实现。
这是一种2-Sum问题。要解决这个问题，首先跳到我脑子中的，是最brute force的方法：遍历。将所有100万个integer都相互加一次，然后把它们的结果保存下来。这种做法简单粗暴，而且无效。因为它的渐近时间复杂度为O(n^2)，具体到这个问题上，需要计算的次数至少为1,000,000^2=10^12。我试过运行这种brute force的程序，大概每0.1s可以针对某一个integer计算出所有其它数与它的和。所以大概需要1000000/3600/10>25小时，所以行不通。
我想到，既然题目要求的是，将结果在-10000~10000范围的记下来，也就是说，对于任意一个数x，只需要计算范围在-x+10000~-x-10000之内的数就可以了，可以先将所有这1000000个数排序。渐近时间复杂度在O(nlog(n))的排序算法有好几个，我选了一个之前实现过的merge sort算法。从理论上来说，这种算法应该是比较快的，但不知道是代码出错还是其他的原因，速度很快，5分钟之内没有结果。而且，这种方法也比较麻烦，即使排序好了，也需要各种指针，每计算一个数，就需要重新计算与之相加的数的范围，容易出错。
后来我又想到一种方法：首先我发现了，这些所有的数，它们的最小值是-99,999,887,310，最大 值是99,999,662,302，也就是在-10^11~1-^11之间。那么，我把所有这100万个数，放入5,000,000个数组中。对于一个数x,x/20000=i，就将x放到第i个数组中。比如，group[0]放的是-20,000~20,000的数，group[1]放的是-40,000~-20,000以及20,000~40,000。
那么对于group[1]里的任何一个数，都只需要计算它和顶多2个group里的数的和。比如，对于25,000，需要计算它和-35,000~-15,000的和，而这些数都包含在group[0]和group[1]里。
而且，integer的总数为1,000,000，而group却有5,000,000个，也就是说，绝大多数group里都只有0个或1个数，计算量会大大减少，渐近时间复杂度是O(n)。
而实际上，这种方法的速度也非常快：只用了大概1s左右的时间。
这就是我将一个问题的算法的运行时间，从超过1天，减少到1s左右的过程。
实现代码在这里：点这里。由于做的是iOS开发，所以用Objective-C实现了。