基础算法1——约瑟夫问题

问题来历

据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。

分析1：

（1）由于对于每个人只有死和活两种状态，因此可以用布朗型数组标记每个人的状态，可用true表示死，false表示活。

（2）开始时每个人都是活的，所以数组初值全部赋为false。

（3）模拟杀人过程，直到所有人都被杀死为止。

C++代码：

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int main()
 4 {
 5     bool a[101]={0};
 6     intn,m,i,f=0,t=0,s=0;
 7     cin>>n>>m;
 8     do
 9     {
10         ++t;//逐个枚举圈中的所有位置
11         if(t>n)
12         t=1;//数组模拟环状，最后一个与第一个相连
13         if(!a[t])
14         s++;//第t个位置上有人则报数
15         if(s==m)//当前报的数是m
16         {
17             s=0;//计数器清零
18             cout<<t<<‘‘;//输出被杀人编号
19             a[t]=1;//此处人已死，设置为空
20             f++;//死亡人数+1
21         }
22     }while(f!=n);//直到所有人都被杀死为止
23     return 0;
24 }

C代码：

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <stdlib.h>
 3
 4 typedef struct node
 5 {
 6     int data;
 7     struct node *next;
 8 }Node;
 9
10 Node *creat(int n)
11 {
12     Node *p, *head;
13     head = (Node *)malloc(sizeof(Node));
14     p = head;
15     Node *s;
16     int i = 0;
17
18     if(0 != n)
19     {
20     while(i <= n)
21     {
22         s = (Node *)malloc(sizeof(Node));
23         s->data = i++;
24             p->next = s;
25         p = s;
26     }
27     s->next = head->next;
28     }
29     free(head);
30     return s->next;
31 }
32
33 int main()
34 {
35     int n = 41, m = 3;
36     int i;
37     Node *p = creat(n);
38     Node *temp;
39
40     m %= n;
41
42     while(p != p->next)
43     {
44         for(i = 1; i < m-1; i++)
45     {
46         p = p->next;
47     }
48     printf("%d ", p->next->data);
49     temp = p->next;
50     p->next = temp->next;
51
52     free(temp);
53     p = p->next;
54     }
55     printf("%d\n", p->data);
56
57     return 0;
58 }