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1. 设 $f(\al,\beta)$ 为线性空间 $V$ 上的非退化双线性函数, 试证: $$\bex \forall\ g\in V^*,\ \exists\ |\ \al\in V,\st f(\al,\beta)=g(\beta),\quad \forall\ \beta\in V. \eex$$ 证明: (1) 唯一性: 设 $\tilde\al$ 也适合题意, 则 $$\beex \bea &\quad f(\al,\beta)=f(\tilde\al,\beta),\quad \f

1. (1) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界, 在 $x=1$ 处连续, 试求极限 $\dps{\vlm{n}n\int_0^1 x^{n-1}f(x)\rd x}$. (2) 计算以下渐近等式 $$\bex \int_0^1 \cfrac{x^{n-1}}{1+x}\rd x=\cfrac{a}{n}+\cfrac{b}{n^2}+o\sex{\cfrac{1}{n^2}}\quad(n\to\infty) \eex$$ 中的待定常数 $a,b$. 解答: (1) 由 $f$ 在

1. 设 $f,g$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数. (1) 对 $1<p<q<\infty$, $\cfrac{1}{p}+\cfrac{1}{q}=1, a,b>0$, 试证: $$\bex ab\leq \cfrac{1}{p}a^p+\cfrac{1}{q}b^q. \eex$$ (2) 设 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 为收敛的正项级数, 试证: $\dps{\vsm{n}a_n^{1-\frac{1}{n}}}$ 也收敛. (3) 对 $1\leq p\le

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1. 求 $\dps{\int_\vGa y^2\rd s}$, 其中 $\vGa$ 由 $\dps{\sedd{\ba{rl} x^2+y^2+z^2&=a^2\\ x+z&=a \ea}}$ 决定. 解答: $\vGa$: $$\bex \sedd{\ba{rl} \sex{x-\cfrac{a}{2}}^2+y^2+\sex{z-\cfrac{a}{2}}^2&=\cfrac{a^2}{2}\\ \sex{x-\cfrac{a}{2}}+\sex{y-\cfrac{a}{2}

1. 设 $f,g$ 是某数域上的多项式, $m(x)$ 是它们的首一最小公倍式, 而 $\scrA$ 为该数域上某线性空间 $V$ 的一个线性变换. 试证: $$\bex \ker f(\scrA)+\ker g(\scrA)=\ker m(\scrA). \eex$$ 证明: 先证: $\ker f(\sigma)+\ker g(\sigma)\subset\ker m(\sigma).$ 由 $f|m$, $g|m$ 知 $\ker f(\sigma)\subset \ker m(\sig

1. 对定义域为全体 $n$ 阶矩阵的函数 $f: \bbR^{n\times n}\to \bbR$, 如果 $\dps{\cfrac{\p f}{\p a_{ij}}}$ 对 $A$ 中每个元素 $a_{ij}$ 都存在, 则记 $$\bex \n_A f(A)=\sex{\cfrac{\p f}{\p a_{ij}}}. \eex$$ 试证: (1) $\n_A\tr (AB)=B^T$; (2) $\n_A \tr(ABA^TC)=CAB+C^TAB^T$. 证明: (1) $$\bee

1. 设整数 $n\geq 2$, 并且 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是互不相同的整数. 证明多项式 $$\bex f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1 \eex$$ 在有理数域上不可约. 证明: 用反证法. 若 (任一非零有理系数多项式均可写成一个有理数与一个本原多项式的乘积) $$\bex f(x)=g(x)h(x),\quad g(x)\in\bbZ[x],\ h(x)\in \bbZ[x],\quad 1\leq \deg g(x),\ \d

1. 设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵, $\rank(A)<n$, 且 $A=B_1\cdots B_k$, 其中 $B_i^2=B_i$, $i=1,\cdots,k$. 试证: $$\bex \rank(E-A)\leq k\sez{n-\rank(A)}. \eex$$ 证明: $$\beex \bea \rank(E-A)&=\rank(E-B_1\cdots B_k)\\ &=\rank(E-B_1+B_1(E-B_2\cdots B_k))\\ &\leq \