【四边形】 HDU 3516 Tree Construction

通道

题意：二维坐标上的点，建一个长度和最小的树包含全部点

思路：

定义状态 dp[i,j]表示点i到点j合并在一起的最小花费（树枝的长度），

状态转移方程：dp[i,j]= min(dp[i,k]+dp[k+1,j]+cost(i,j) ) i<k<j

cost(i,j)=py[k]-py[j]+px[k+1]-px[i];

当j固定时，cost(i,j)单调递减函数

我们猜测cost(i,j)满足四边形不等式

证明： F(i)=cost(i,j+1)-cost(i,j)=py[j]-py[j+1]是一个与i无关的多项式，

所以j固定时，F(i)满足四边形不等式，得证。

s[i,j]=k;s[i-1,j] <= s[i,j] <= s[i,j+1];

由于决策s具有单调性,因此状态转移方程可修改为:

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int dp[1010][1010];
int s[1010][1010];
int main(){
    int n;
    int x[1010];
    int y[1010];
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
            s[i][i]=i;
        }
        for(int ln=2;ln<=n;ln++){
            for(int i=1;i<=n-ln+1;i++){
                dp[i][i+ln-1]=999999;
                for(int j=s[i][i+ln-2];j<=s[i+1][i+ln-1];j++){
                    if(dp[i][i+ln-1]>dp[i][j]+dp[j+1][i+ln-1]+abs(x[j+1]-x[i])+abs(y[i+ln-1]-y[j])){
                        dp[i][i+ln-1]=dp[i][j]+dp[j+1][i+ln-1]+abs(x[j+1]-x[i])+abs(y[i+ln-1]-y[j]);
                        s[i][i+ln-1]=j;
                    }
                }
            }
        }
        printf("%d\n",dp[1][n]);
    }
    return 0;
}