课程来自斯坦福大学吴恩达教授 machine learning:
https://www.coursera.org/learn/machine-learning/home/welcome
1) Model representation(模型表示)
回到房屋价格预测问题, 首先它是一个有监督学习的问题(对于每个样本的输入,都有正确的输出或者答案),同时它也是一个回归问题(预测一个实值输出)。训练集表示如下:
其中:
m = 训练样本的数目
x’s = “输入”变量,也称之为特征
y’s = “输出”变量,也称之为“目标”变量
对于房价预测问题,学习过程可用下图表示:
其中x代表房屋的大小,y代表预测的价格,h(hypothesis)将输入变量 x 映射到输出变量 y,如何表示h?
事实上Hypothesis可以表示成如下形式:
hθ(x)=θ0+θ1x
简写为 h(x),也就是带一个变量的线性回归或者单变量线性回归问题。
2) Cost function(代价函数,成本函数)
对于Hypothesis: hθ(x)=θ0+θ1, θi 为参数,因此如何求θi?
构想: 对于训练集(x, y),选取参数θ0, θ1使得hθ(x)尽可能的接近y。
如何做呢?一种做法就是求训练集的平方误差函数(squared error function),Cost Function可表示为:
J(θ0,θ1)=12m∑i=1m(hθ(x(i))–y(i))2
并且选取合适的参数使其最小化,数学表示如下:
minimizeθ0,θ1J(θ0,θ1)
3) Cost function intuition I(直观解释1)
直观来看,线性回归主要包括如下四大部分,分别是Hypothesis, Parameters, Cost Function, Goal:
这里作者给出了一个简化版的Cost function解释,也就是令θ0为0:
然后令θ1分别取1、0.5、-0.5等值,同步对比hθ(x)和J(θ0,θ1)在二维坐标系中的变化情况,具体可参考原PPT中的对比图,很直观。
4) Cost function intuition II(直观解释2)
回顾线性回归的四个部分,这一次不在对Cost Function做简化处理,这个时候J(θ0,θ1)的图形是一个三维图或者一个等高线图,具体可参考原课件。
可以发现,当hθ(x)的直线越来越接近样本点时,J(θ0,θ1)在等高线的图中的点越来越接近最小值的位置。
5) Gradient descent(梯度下降)
应用的场景之一-最小值问题:
对于一些函数,例如J(θ0,θ1)
目标: minθ0,θ1J(θ0,θ1)
方法的框架:
1、给θ0, θ1一个初始值,例如都等于0
2、每次改变θ0, θ1的时候都保持J(θ0,θ1)递减,直到达到一个我们满意的最小值;
对于任一J(θ0,θ1) , 初始位置不同,最终达到的极小值点也不同,例如以下两个例子:
梯度下降算法:
重复下面的公式直到收敛:
举例:
参数正确的更新过程如下(同步更新):
错误的更新过程如下:
6) Gradient descent intuition(梯度下降直观解释)
举例,对于一个简化的J(θ1)来说,无论抛物线的左边还是右边,在梯度下降算法下,θ1)都是保持正确的方向(递增或递减)
对于learning rate(又称为步长)来说:
如果α过小,梯度下降可能很慢;如果过大,梯度下降有可能“迈过”(overshoot)最小点,并且有可能收敛失败,并且产生“分歧”(diverge)
梯度下降可以使函数收敛到一个局部最小值,特别对于learning rate α是固定值的时候:
当函数接近局部最小值的时候,梯度下降法将自动的采取“小步子”, 所以没有必要随着时间的推移减小learning rate.
关于梯度下降算法,可以参考维基百科的介绍:http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A2%AF%E5%BA%A6%E4%B8%8B%E9%99%8D%E6%B3%95
7) Gradient descent for linear regression(应用于线性回归的的梯度下降算法)
梯度下降算法:
线性回归模型:
J(θ0,θ1)对于θ0), θ1)求导,得:
在梯度下降算法中进行替换,就得到单变量线性回归梯度下降算法:
详细的图形举例请参考官方PPT,主要是在等高线图举例梯度下降的收敛过程,逐步逼近最小值点,其中一幅图说明:线性回归函数是凸函数(convex function),具有碗状(bowl shape)。
总结: 这里的梯度下降算法也称为”Batch” 梯度下降: 梯度下降的每一步都使用了所有的训练样本。