最近人工智能做个小实验，组队选了个数独游戏，顺便研究了一下。解数独感觉主流思想也就是深搜回溯了吧，优化就是各种剪枝方法。
1 引言
数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的拉丁方阵（Latin Square），曾风靡日本和英国。现有解法包括基础解法：摒除法，余数法，进阶解法：区块摒除法（Locked Candidates）、数组法（Subset）、四角对角线（X-Wing）、唯一矩形（Unique Rectangle）、全双值坟墓（Bivalue Universal Grave）、单数链（X-Chain）、异数链（XY-Chain）及其他数链的高级技巧等等。已发展出来的方法有近百种之多。本解法中使用了余数法和数组法。
2 算法原理
用个9*9的vector保存整个游戏，注意的是这里的9*9不是9行9列，而是9个九宫格，起初考虑时是希望能更简洁，不过最终都会用到位置所在的行数，列数和所在九宫格，似乎存行列只需要通过行列求9宫格更方便，而存9*九宫格要通过第几个九宫格和九宫格中第几个位置来求行列，更复杂（—_—）! 算是个坑，以后有同学在做的话，要注意了哦!
算法的流程也很简单，上个流程图，
首先，数据结构是9*9的游戏盘，然后为每个位置的可选数字维护一个集合（set），每次更新数字时会同时更新相关位置的集合，稍后会讲到。还有个3*9的集合，是每行每列每个九宫格的可选数字的集合。
然后说说剪枝算法，前面说到用了余数法和数组法，要声明的一点是，这些解法都是人类的解法，即为人类如何选取数字而达到最快解出题目，不过我们计算机深搜是直接选取可选数字最少的位置，所以可能叫法有争议，在此就不深入讨论了。
（1）余数法
每次选择数字后，都要删除对应位置的可选数，及同行同列同九宫格中不能再次选择相同的数字了，所以更新下面图片中灰色位置的集合，如果有位置的可选数字为空，则回溯。
（2）数组法
或许有的时候更新后所有位置都有可选数字，但此时已经出现冲突，例如，一行中只有2个空位，而他们的可选数字相同，这时一定无解了，所以需要回溯。
为了检测，我们需要将更新过的位置所处的行列九宫格的集合全部更新，（灰色位置包括的行列九宫格，实际就是所有行列和5个九宫格），更新方法就是对该集合包含的所有位置的可选数+已选数求并集，得出集合大小小于9则产生了冲突，回溯。
3 代码
1 #include <iostream>
2 #include <vector>
3 #include <set>
4 #include <cstdlib>
5 #include <ctime>
6 #include <fstream>
7
8 using namespace std;
9
10
11 class Sudoku{
12 public:
13 vector<vector<int> > numMap;//9*9 0
14 vector<vector<set<int> > > availableNum;//row,col,nine 1~9
15 vector<vector<set<int> > > everyNum;
16
17 Sudoku(vector<vector<int> > v){
18 initMap(v);
19 }
20
21 bool updateMap(int small,int big,int value){ //9*9 vector everyNum[big][small] = value
22 if(numMap[big][small]==0){ //更新游戏盘，删除相关位置中的value
23 set<int> &row = availableNum[0][getRow(small,big)];
24 set<int> &col = availableNum[1][getCol(small,big)];
25 set<int> &nin = availableNum[2][big];
26 set<int>::iterator rowIt = row.find(value);
27 set<int>::iterator colIt = col.find(value);
28 set<int>::iterator ninIt = nin.find(value);
29 if(rowIt!=row.end()&&
30 colIt!=col.end()&&
31 ninIt!=nin.end()){
32 row.erase(rowIt);
33 col.erase(colIt);
34 nin.erase(ninIt);
35 numMap[big][small] = value;
36 set<int> s;
37 everyNum[big][small] =s; //选中后集合中只有一个选中的数字本身
38 everyNum[big][small].insert(value);
39 if(updateEve(small,big,value))
40 return true;
41 }
42 }
43 return false;
44 }
45 bool updateEve(int small,int big,int value){
46 for(int i=0;i!=9;++i){
47 if(numMap[big][i]==0){
48 set<int>::iterator it = everyNum[big][i].find(value); 49 if(it!=everyNum[big][i].end()){ 50 everyNum[big][i].erase(it); 51 ｝ 52 if(everyNum[big][i].size()==0)
53 return false; 54 }
55 }
56 int r = getRow(small,big);
57 for(int j=0;j!=3;++j){
58 for(int k=0;k!=3;++k){
59 int a=r/3*3+j;
60 int b=r%3*3+k;
61 if(numMap[a][b]==0){
62 set<int>::iterator it = everyNum[a][b].find(value); 63 if(it!=everyNum[a][b].end()){ 64 everyNum[a][b].erase(it); 65 ｝ 66 if(everyNum[a][b].size()==0)
67 return false; 68 69 }
70 }
71 for(int j=0;j!=3;++j){
72 for(int k=0;k!=3;++k){
73 int a=big%3+j*3;
74 int b=small%3+k*3;
75 if(numMap[a][b]==0){
76 set<int>::iterator it = everyNum[a][b].find(value); 77 if(it!=everyNum[a][b].end()){ 78 everyNum[a][b].erase(it); 79 ｝ 80 if(everyNum[a][b].size()==0)
81 return false; 82 83 }
84 }
85 return true;
86 }
87 bool check(){ //数组法检查
88 for(int i=0;i!=9;++i){
89 set<int> s;
90 for(int j=0;j!=9;++j){
91 for(auto it:everyNum[i][j]){
92 s.insert(it);
93 }
94 }
95 if(s.size()!=9)
96 return false;
97 }
98 for(int r=0;r!=9;++r){
99 set<int> s;
100 for(int j=0;j!=3;++j){
101 for(int k=0;k!=3;++k){
102 int a=r/3*3+j;
103 int b=r%3*3+k;
104 for(auto it:everyNum[a][b]){
105 s.insert(it);
106 }
107 }
108 }
109 if(s.size()!=9)
110 return false;
111 }
112 for(int c=0;c!=9;++c){
113 set<int> s;
114 for(int j=0;j!=3;++j){
115 for(int k=0;k!=3;++k){
116 int a=j*3+c/3;
117 int b=k*3+c%3;
118 for(auto it:everyNum[a][b]){
119 s.insert(it);
120 }
121 }
122 }
123 if(s.size()!=9)
124 return false;
125 }
126 return true;
127 }
128 void initMap(vector<vector<int> > vv){
129 vector<int> v(9,0);
130 set<int> s;
131 for(int i=1;i!=10;++i){
132 s.insert(i);
133 }
134 vector<set<int> > sv(9,s);
135 availableNum = vector<vector<set<int> > >(3,sv);
136 everyNum = vector<vector<set<int> > >(9,sv);
137 numMap = vector<vector<int> >(9,v);
138 for(int i=0;i!=9;++i){
139 vector<int> tmp = vv[i];
140 for(int j=0;j!=3;++j){
141 for(int k=0;k!=3;++k){
142 numMap[i/3*3+j][i%3*3+k]=tmp[j*3+k];
143 if(tmp[j*3+k]!=0){
144 int value = tmp[j*3+k];
145 set<int> a;
146 everyNum[i/3*3+j][i%3*3+k] = a;
147 set<int> &row = availableNum[0][getRow(i%3*3+k,i/3*3+j)];
148 set<int> &col = availableNum[1][getCol(i%3*3+k,i/3*3+j)];
149 set<int> &nin = availableNum[2][i/3*3+j];
150 set<int>::iterator rowIt = row.find(value);
151 set<int>::iterator colIt = col.find(value);
152 set<int>::iterator ninIt = nin.find(value);
153 row.erase(rowIt);
154 col.erase(colIt);
155 nin.erase(ninIt);
156 }
157 }
158 }
159 }
160 showMap();
161 set<int> tmp;
162 for(int i=0;i!=9;++i){
163 for(int j=0;j!=9;++j){
164 if(numMap[i][j]==0){
165 everyNum[i][j] = getEve(j,i);
166 }
167 else{
168 everyNum[i][j] = tmp;
169 everyNum[i][j].insert(numMap[i][j]);
170 }
171
172 }
173 }
174 showEve();
175 }
176 set<int> getEve(int small,int big){
177 set<int> &row = availableNum[0][getRow(small,big)];
178 set<int> &col = availableNum[1][getCol(small,big)];
179 set<int> &nin = availableNum[2][big];
180 set<int> res;
181 for(auto it:row){
182 if(col.find(it)!=col.end()&&nin.find(it)!=nin.end()){
183 res.insert(it);
184 }
185 }
186 return res;
187 }
188
189 pair<int,int> getMin(){
190 pair<int,int> res = make_pair(9,9);
191 int Min =10;
192 for(int i=0;i!=9;++i){
193 for(int j=0;j!=9;++j){
194 if(numMap[i][j]==0&&everyNum[i][j].size()<Min){
195 res = make_pair(i,j);
196 Min = everyNum[i][j].size();
197 }
198 }
199 }
200 return res;
201 }
202 int getEveNum(int small,int big){
203 set<int> &row = availableNum[0][getRow(small,big)];
204 set<int> &col = availableNum[1][getCol(small,big)];
205 set<int> &nin = availableNum[2][big];
206 int res=0;
207 for(auto it:row){
208 if(col.find(it)!=col.end()&&nin.find(it)!=nin.end()){
209 res++;
210 }
211 }
212 return res;
213 }
214 int getRow(int small,int big){
215 return big/3*3+small/3;
216 }
217 int getCol(int small,int big){
218 return big%3*3+small%3;
219 }
220 void showMap(){
221 for(int i=0;i!=9;++i){
222 cout<<" ";
223 if(i%3==0){
224 cout<<"---------------------"<<endl;
225 cout<<" ";
226 }
227 for(int j=0;j!=3;++j){
228 cout<<"|";
229 for(int k=0;k!=3;++k){
230 if(numMap[i/3*3+j][i%3*3+k]==0)
231 cout<<" ";
232 else
233 cout<<numMap[i/3*3+j][i%3*3+k]<<" ";
234 }
235 }
236 cout<<"|"<<endl;
237 }
238 cout<<" ";
239 cout<<"---------------------"<<endl;
240
241 }
242 void showEve(){
243 for(int i=0;i!=9;++i){
244 cout<<" ";
245 if(i%3==0){
246 cout<<"---------------------"<<endl;
247 cout<<" ";
248 }
249 for(int j=0;j!=3;++j){
250 cout<<"|";
251 for(int k=0;k!=3;++k){
252 if(numMap[i/3*3+j][i%3*3+k]==0){
253 for(auto it:everyNum[i/3*3+j][i%3*3+k])
254 cout<<it;
255 cout<<" ";
256 }
257 else
258 cout<<numMap[i/3*3+j][i%3*3+k]<<" ";
259 }
260 }
261 cout<<"|"<<endl;
262 }
263 cout<<" ";
264 cout<<"---------------------"<<endl;
265
266 }
267 };
268
269 bool solu(Sudoku mSudoku,int small,int big,int value);
270 bool solu(Sudoku mSudoku);
271 bool solu1(Sudoku mSudoku,int small,int big,int value);
272 bool solu1(Sudoku mSudoku){
273 pair<int,int> p = mSudoku.getMin();
274 for(auto i:mSudoku.everyNum[p.first][p.second]){
275 if(solu1(mSudoku,p.second,p.first,i))
276 return true;
277 }
278 return false;
279 }
280 bool solu(Sudoku mSudoku){
281 pair<int,int> p = mSudoku.getMin();
282 for(auto i:mSudoku.everyNum[p.first][p.second]){
283 if(solu(mSudoku,p.second,p.first,i))
284 return true;
285 }
286 return false;
287 }
288
289 bool solu(Sudoku mSudoku,int small,int big,int value){
290 if(!mSudoku.updateMap(small,big,value))
291 return false;
292 pair<int,int> p = mSudoku.getMin();
293 if(p==make_pair(9,9)){
294 mSudoku.showMap();
295 return true;
296 }
297 for(auto i:mSudoku.everyNum[p.first][p.second]){
298 if(solu(mSudoku,p.second,p.first,i))
299 return true;
300 }
301 return false;
302 }
303
304 bool solu1(Sudoku mSudoku,int small,int big,int value){
305 if(!mSudoku.updateMap(small,big,value)||!mSudoku.check())
306 return false;
307 pair<int,int> p = mSudoku.getMin();
308 if(p==make_pair(9,9)){
309 mSudoku.showMap();
310 return true;
311 }
312 for(auto i:mSudoku.everyNum[p.first][p.second]){
313 if(solu1(mSudoku,p.second,p.first,i))
314 return true;
315 }
316 return false;
317 }
318
1 int main()
2 {
3 vector<int> a(9,0);
4 vector<vector<int> > b(9,a);
5 vector<vector<vector<int> > > v(95,b);
6 vector<double> tim(95,0);
7 vector<double> tim1(95,0);
8 string str;
9 for(int i=0;i!=95;++i){
10 cin>>str;
11 for(int j=0;j!=9;++j){
12 for(int k=0;k!=9;++k){
13 if(str[j*9+k]==‘.‘)
14 v[i][j][k]=0;
15 else
16 v[i][j][k]=str[j*9+k]-‘0‘;
17 }
18 }
19 Sudoku mSudoku(v[i]);
20 //unsigned long start = ::GetTickCount();
21 //cout<<start;
22 clock_t start = clock();
23 solu(mSudoku);
24 clock_t en = clock();
25 tim[i] = (double)(en - start) / CLOCKS_PER_SEC;
26 start = clock();
27 solu1(mSudoku);
28 en = clock();
29 tim1[i] = (double)(en - start) / CLOCKS_PER_SEC;
30 }
31 ofstream file("spendTime.txt");
32 for(int i=0;i!=95;++i){
33 file<<tim[i]<<",";
34 }
35 file<<endl;
36 file.close();
37 ofstream file1("spendTime1.txt");
38 for(int i=0;i!=95;++i){
39 file1<<tim1[i]<<",";
40 }
41 file1.close();
42 return 0;
43 }
写了个main()从测试从网上下载下来的95个用例，记录个时间，用python画出来。
可以看到对于一些回溯次数较多的用例，剪枝效果还是很不错的。
附：代码及相关文件
时间： 2024-08-08 11:44:24