问题2017S02

问题:

设方阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & a & 0 \\ a-2 & 0 & 1 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$可对角化,求$a$的值.

计算可知$|\lambda I - A| = \lambda(\lambda -1)^2(\lambda -a)$
若$a \ne 1$,则根据可对角化的条件知$\mathrm{r}(I - A) = 2$,而
\[ I - A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1-a & -a & 0 \\ 2-a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
从而后三排应当线性相关.此时只能有$a = 2$

若$a = 1$,则应有$\mathrm{rank}(I - A) = 1$,由上面知也是错的.从而$a = 2$