hdu5673 Robot 卡特兰数 / 默慈金数

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5673

分析：

　　这道题是一道裸的默慈金数，比较容易想到的是用卡特兰数来做。不了解的可以先学习一下。

　　卡特兰数：http://www.cnblogs.com/yaoyueduzhen/p/5456490.html

　　默慈金数：http://www.cnblogs.com/yaoyueduzhen/p/5456530.html

　　记路径长度为nn,那么机器人最多向右走⌊?n/2??⌋步并向左走⌊?n/2??⌋步。

　　　　　　Ans(n)=∑C?(n,?2i)?? Catalan(i)

　　其中 C(n,2i) 表示从n个物品中取2*i个的组合数，Catalan(n)表示第n个卡特兰数，0 <= i <= ⌊?n/2??⌋

　　基于n的取值范围，此题可以预处理出1,000,001以内的乘法逆元、卡特兰数。

　　每次询问，都可以递推组合数，或者提前一次性预处理好阶乘和阶乘的逆元得到组合数；累加组合数与相应卡特兰数的乘积，得到答案。

　　事实上，Ans(n)是第n个默慈金数，利用递推公式可以快速求出。

卡特兰数代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5
 6 using namespace std;
 7 const long long mod=1000000007;
 8 long long n;
 9 long long ans[1100000],ni[1100000];
10
11 long long power(long long a,long long n,long long m)
12 {
13     long long ans=1,tmp=a;
14     while(n)
15     {
16         if(n&1)
17             ans=ans*tmp%m;
18         tmp=tmp*tmp%m;
19         n=n>>1;
20     }
21     return ans%m;
22 }
23
24 void init()
25 {
26     ans[0]=1;
27     ans[1]=1;
28     for(long long i=1;i<=1000005;i++)
29         ni[i]=power(i,mod-2,mod)%mod;
30     for(long long i=2;i<=1000000;i++)
31         ans[i]=(4*i-2)%mod*ans[i-1]%mod*ni[i+1]%mod;
32 }
33
34 int main()
35 {
36     init();
37     int T;
38     scanf("%d",&T);
39     while(T--)
40     {
41         scanf("%lld",&n);
42         long long res=0,tmp=1;
43         for(long long  i=0;i*2<=n;i++)
44         {
45             res=(res+tmp*ans[i]%mod)%mod;
46             tmp=tmp*(n-2*i)%mod*(n-2*i-1)%mod*ni[2*i+1]%mod*ni[2*i+2]%mod;
47         }
48         cout<<res<<endl;
49     }
50     return 0;
51 }

默慈金数代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5
 6 using namespace std;
 7
 8 const long long mod=1000000007;
 9 long long n;
10 long long ans[1100000];
11 long long power(long long a,long long n,long long m)
12 {
13     long long ans=1,tmp=a;
14     while(n)
15     {
16         if(n&1)
17             ans=ans*tmp%m;
18         tmp=tmp*tmp%m;
19         n=n>>1;
20     }
21     return ans;
22 }
23
24 int main()
25 {
26     ans[1]=1;
27     ans[2]=2;
28     for(long long i=2;i<=1000000;i++)
29         ans[i+1]=((2*i+3)%mod*ans[i]%mod+3*i*ans[i-1]%mod)%mod*power(i+3,mod-2,mod)%mod;
30     int T;
31     scanf("%d",&T);
32     while(T--)
33     {
34         scanf("%lld",&n);
35         cout<<ans[n]<<endl;
36     }
37     return 0;
38 }