POJ 3422 Kaka‘s Matrix Travels

链接：http://poj.org/problem?id=3422

题意：有一个N*N的方格，每个方格里面有一个数字。现在卡卡要从左上角走到右下角，规定每次只能向下或者向右走，每次走到一个格子，将得到该格子的数字，并且该格子的数字变为0。当卡卡走一次时，很容易求出最大值，问卡卡走k次，能够得到的最大值为多少。

思路：最小费用最大流

关键是如何构图

1. 将N*N个格点拆分为两个点（i，i + N*N），每个点之间连一条流量为1，费用为-w的边，再连一条流量为k，费用为0的边。这样就保证了每个点之间可以走k次，且最多只有一次能拿到费用。

2. 将每个点与其下面、右边的点连边，流量为k，费用为0.

3. 构造两个源点、汇点。源点和左上角连边，流量为k，费用为0. 右下角与汇点连边，流量为k，费用为0.

至此，容量网络已经构成。 每次在残余网络中找费用最短路进行增广即可。

代码：

/*
ID: [email protected]
PROG:
LANG: C++
*/
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<string>
#include<fstream>
#include<cstring>
#include<ctype.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define INF (1 << 20)
#define LINF (1LL << 60)
#define PI acos(-1.0)
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define rep(i, a, n) for (int i = a; i < n; i++)
#define per(i, a, n) for (int i = n - 1; i >= a; i--)
#define eps 1e-6
#define debug puts("===============")
#define pb push_back
#define mkp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
#define POSIN(x,y) (0 <= (x) && (x) < n && 0 <= (y) && (y) < m)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ULL;
const int maxn = 5555;
const int maxm = 500000;
struct node {
    int v, cap, nxt, cost;
} e[maxm * 2];
int g[maxn], cnt, st, ed, n, m;
int ans, flow;
int nt, k;
void add(int u, int v, int cap, int cost) {
    e[++cnt].v = v;
    e[cnt].cap = cap;
    e[cnt].cost = cost;
    e[cnt].nxt = g[u];
    g[u] = cnt;

    e[++cnt].v = u;
    e[cnt].cap = 0;
    e[cnt].cost = -cost;
    e[cnt].nxt = g[v];
    g[v] = cnt;
}
void init() {
    cnt = 1;
    ans = flow = 0;
    memset(g, 0, sizeof(g));
    // 加边
    int w;
    int p = nt * nt;
    for (int i = 1; i <= nt; i++) {
        for (int j = 1; j <= nt; j++) {
            scanf("%d", &w);
            int id = (i - 1) * nt + j;
            add(id, id + p, 1, -w);
            add(id, id + p, k, 0);
            if (i < nt) add(id + p, id + nt, k, 0);
            if (j < nt) add(id + p, id + 1, k, 0);
        }
    }
    st = 0, ed = p * 2 + 1;
    n = ed;
    add(st, 1, k, 0);
    add(p * 2, ed, k, 0);
}

int dis[maxn], que[maxn], pre[maxn];
bool vis[maxn];
bool spfa() {
    int font = 0, rear = 1;
    for(int i = 0; i <= n; i ++) {
        dis[i] = INF;
        vis[i] = false;
    }
    dis[st] = 0;
    que[0] = st;
    vis[st] = true;
    while(rear != font) {
        int u = que[font++];
        font %= n;
        vis[u] = false;
        for(int i = g[u]; i; i = e[i].nxt) {
            int v = e[i].v;
            if(e[i].cap && dis[v] > dis[u] + e[i].cost) {
                dis[v] = dis[u] + e[i].cost;
                pre[v] = i;
                if(!vis[v]) {
                    vis[v] = true;
                    que[rear++] = v;
                    rear %= n;
                }
            }
        }
    }
    if(dis[ed] == INF) return false;
    return true;
}
void augment() {
    int u, p, mi = INF;
    for(u = ed; u != st; u = e[p ^ 1].v) {
        p = pre[u];
        mi = min(mi, e[p].cap);
    }
    for(u = ed; u != st; u = e[p ^ 1].v) {
        p = pre[u];
        e[p].cap -= mi;
        e[p ^ 1].cap += mi;
        ans += mi * e[p].cost;     //  cost记录的为单位流量费用，必须得乘以流量。
    }
    flow += mi;
}
int MCMF() {
    init();
    while(spfa()) augment();
    return ans;
}
int main () {
    while(~scanf("%d%d", &nt, &k)) {
        printf("%d\n", -MCMF());
    }
    return 0;
}

POJ 3422 Kaka's Matrix Travels （最小费用最大流）