高等数学总结(无穷级数)

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1)无穷级数的收敛:部分和有极限;
2)收敛级数的性质:
A)Un收敛于s,则kUn也收敛于ks:级数的每一项都乘以一个非零常数k,不改变级数的收敛性。
B)级数A,B收敛于a,b,则级数A+B(A-B)收敛于a+b(a-b);两个收敛级数可以逐项相加(相减).
C)在级数中除掉、加上或者改变有限项,不改变级数的收敛性。
D)对于收敛级数A,如果对级数项任意添加括号形成的级数仍然收敛,且和不变;注意:加括号不改收敛性,但去括号则不一定了;
E)如果级数A收敛,则A的一般项趋于0.
3)柯西审敛定理:
级数收敛的充分必要条件是:对任意给定的

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ε,总存在正整数N,使得n>N的p项之和的绝对值小于

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ε.
4)正项级数的收敛:
     A)如果正项级数的部分和有界,则级数收敛;
     B)比较审敛定理:An<Bn,如果B收敛,则A收敛,如果A发散,则B发散;
     C)比较审敛的极限形式
     E)比值审敛法(达郎贝尔判别法):Un+1/Un=p,如果p<1则收敛,p>1 发散,p=1则不定。
     F)根值审敛:,如果p<1则收敛,p>1发散,p=1不定。
     G)极限审敛法:nUn的极限为l,则发散;n^p * Un 的极限为l,l>=0,p>1,Un收敛.

5)交错级数的审敛:
     A)莱布尼兹定理:对于级数:Σ(-1)^(n-1) * Un满足:Un极限为0和Un>=Un+1,则级数收敛.

6)绝对收敛和条件收敛:
   A)级数绝对收敛,则必然收敛;
   B )两个级数收敛s1,s2,则两个级数的柯西乘积收敛于s1*s2;
7)函数项级数:
8)幂级数:
      A)阿贝尔定理:如果级数P=ΣAn*x^n在x0处收敛,则P在|x|<|x0|处都收敛;如果P在x0处发散,则P在|x|>|x0|处都发散;An是级数项的系数。
      B)收敛半径p:Lim|(an/a(n-1))|=k,如果k>0,则p=1/k.如果k=0,则p是无穷大,如果k等于无穷大,则收敛半径为0.
      C)逐项积分,逐项求导。和函数连续。

9)泰勒级数和泰勒展开式:

函数的泰勒展开式,右边是泰勒级数。

二项式展开:

应用:近似计算,微分方程的幂级数解法,欧拉公式
10)幂级数的一致性收敛


11)三角级数:

12)函数的傅里叶三角展开(周期为2π):

右边叫傅里叶级数,其中:

根据f(x)的奇偶性可退出正弦级数和余弦级数。

13)奇延拓和偶延拓:

补充函数的定义,让其适合三角展开。
14)一般周期的傅里叶级数:

复数形式:

时间: 2024-10-28 10:01:55

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