递归算法（一）——akm

要求

已知akm函数如下：

{ n+1 while m=0 }                          => Rule I

akm(m,n)= { akm(m-1,1) while n=0 }                => Rule II

{ akm(m-1,akm(m,n-1)) otherwise } => Rule III

写出递归与非递归算法，并输出调用过程。

实现

参见https://github.com/bajdcc/ALGImplements/blob/master/akm/akm.cpp

#include "stdafx.h"
#include <stdio.h>
#include <stack>

/*
 * Ackerman function definition
 *
 *           {  n+1                    while m=0  } => Rule I
 * akm(m,n)= {  akm(m-1,1)             while n=0  } => Rule II
 *           {  akm(m-1,akm(m,n-1))    otherwise  } => Rule III
 */

 //************************************
 // Method:    akm1
 // FullName:  递归解法
 // Access:    public
 // Returns:   int
 // Qualifier: recursion
 // Parameter: int m
 // Parameter: int n
 //************************************
int akm1(int m, int n)
{
    printf("Compute akm(%d,%d)\n", m, n);
    if (m == 0)
    {
        printf("Compute akm(%d,%d) - val = %d\n", m, n, n + 1);
        return n + 1;
    }
    else if (n == 0)
    {
        return akm1(m - 1, 1);
    }
    else
    {
        return akm1(m - 1, akm1(m, n - 1));
    }
}

//************************************
// Method:    akm2
// FullName:  非递归解法一
// Access:    public
// Returns:   int
// Qualifier: non-recursion
// Parameter: int m
// Parameter: int n
//************************************
int akm2(int m, int n)
{
    /* 这个解法有其特殊性，因为递归调用数为一，没有并列调用（一个以上参数为递归调用，如akm(akm(...),akm(...))） */
    //这样，在栈中，调用关系为线性关系，而不是树形关系

    //栈的惰性求值方法，若表达式中含有非求值akm函数，则记录它在链表中的位置
    //由于存在m和n参数以及akm函数返回值，因此一个结点中有m,n,val
    struct akm_node
    {
        int m, n, val;
    };
    std::stack<akm_node> exp_stack;
    akm_node initial_val;//初始值
    initial_val.m = m;
    initial_val.n = n;
    initial_val.val = -1;//返回值尚未求得
    exp_stack.push(initial_val);
    /* 注意：这个方法假设akm的值为正数 */
    while (true)//主循环
    {
        akm_node& node = exp_stack.top();//当前处理的表达式，取栈顶且不出栈，取引用说明要修改
        printf("Compute akm(%d,%d)\n", node.m, node.n);
        //为什么为top不急着出栈，这是因为之前的表达式要用到当前值
        //此时出栈后，之前的式子就没有获得返回值
        //出栈的最佳时机，即为式子取得其参数（返回值）后
        if (node.val != -1)//值被求出
        {
            //什么时候才是出栈的时机，这个时候！
            //此时，值已经求得，即为可解问题
            //我们知道可解问题一般为树的叶子结点
            //求得这个值之后，可能这个结果是上一次调用的参数
            //那么应该亡羊补牢，赶紧补上上一次调用的参数
            exp_stack.pop();//值在node中，故可出栈
            if (exp_stack.empty())//Rule I
            {
                //假使当前栈空，那么这个node就是最终值（所有嵌套全部计算完毕），九九归一
                return node.val;
            }
            else
            {
                //栈不空，说明【肯定】含有待解问题
                //因为当且仅当栈空时，调用栈为空，即树归约到根结点，得到最终结果
                akm_node& not_computed_exp = exp_stack.top();//取引用说明要修改
                if (not_computed_exp.n == 1)//Rule II called Rule I
                {
                    not_computed_exp.val = node.val;//give it computed value
                }
                else if (not_computed_exp.n == -1)//Rule III called Rule I
                {
                    not_computed_exp.n = node.val;
                }
                else
                {
                    not_computed_exp.val = node.val;
                }
            }
            continue;
        }
        if (node.m == 0)//Rule I: m+1 while m equals to zero
        {
            printf("Compute akm(%d,%d) - val = %d\n", node.m, node.n, node.n + 1);
            node.val = node.n + 1;
        }
        else if (node.n == 0)//Rule II akm(m-1,1) while n equals to zero
        {
            //此时值不可直接求解，故需要嵌套求值（惰性求值）
            //将二次调用参数进栈
            akm_node secondary_call_exp;
            secondary_call_exp.m = node.m - 1;
            secondary_call_exp.n = 1;
            secondary_call_exp.val = -1;
            exp_stack.push(secondary_call_exp);
        }
        else//Rule III akm(m-1,akm(m,n-1)) otherwise
        {
            //此时值不可直接求解，故需要嵌套求值（惰性求值）
            akm_node secondary_call_exp;//二次调用
            secondary_call_exp.m = node.m - 1;
            secondary_call_exp.n = -1;//-1代表未知
            secondary_call_exp.val = -1;
            exp_stack.push(secondary_call_exp);
            akm_node tertiary_call_exp;//三次调用
            tertiary_call_exp.m = node.m;
            tertiary_call_exp.n = node.n - 1;
            tertiary_call_exp.val = -1;
            exp_stack.push(tertiary_call_exp);
            continue;
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    printf("============ 递归 ===========\n");
    printf("akm(2,1)=%d\n", akm1(2, 1));
    printf("\n");
    printf("============ 非递归 ===========\n");
    printf("akm(2,1)=%d\n", akm2(2, 1));
    printf("\n");
    return 0;
}