http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/39083281
问题：
1. 一个由N个整数元素的一维数组，求其所有子数组中元素和的最大值。
2. 如果数组首尾相邻，也就是允许子数组A[i],...,A[n-1],A[0],...,A[j]存在，求其所有子数组总元素和的最大值。
解法1：
/* O(n^2) 遍历算法 */
static int maxSubarraySum1(int *a,int a_len){
int max_sum = INT_MIN, sum;
for(int i = 0; i < a_len; i++){ //从i开始的子数组的最大和,遍历所有情况
sum = 0;
for(int j = i; j < a_len; j++){
sum += a[j];
if(sum > max_sum)
max_sum = sum;
}
}
return max_sum;
}
解法2：
/* O(nlogn) 分治算法 */
static int maxSubarraySum2(int *a, int low, int high){ //a[low] a[high]之间最大子段和
if(low >= high) //只剩一个元素的时候返回本身为最大值
return a[low];
int mid = (high + low) / 2; //以a[mid]结尾的最大一段数组之和
int sum = 0, max_sum_left = INT_MIN;
for(int i = mid; i >= low; i--){
sum += a[i];
if(sum > max_sum_left)
max_sum_left = sum;
}
int max_sum_right = INT_MIN; //以a[mid + 1]开始的最大一段数组之和
sum = 0;
for(int i = mid + 1; i <= high; i++){
sum += a[i];
if(sum > max_sum_right)
max_sum_right = sum;
}
int max_sum = max_sum_left + max_sum_right;
int max_sub_left = maxSubarraySum2(a, low, mid); //数组左段最大子段和
int max_sub_right = maxSubarraySum2(a, mid + 1, high); //数组左段最大子段和
int max_sub = max_sub_left > max_sub_right ? max_sub_left:max_sub_right;
max_sum = max_sum > max_sub? max_sum : max_sub; //数组总的最大子段和
return max_sum;
}
解法3：
/* O(n) DP算法 */
static int maxSubarraySum3(int *a, int n){
int *start = (int *)malloc(sizeof(a[0]) * n); //start[i]为从i开始的包含a[i]最大子数组和
int *all = (int *)malloc(sizeof(a[0]) * n); //all[i]为从i开始的最大一段数组和
start[n - 1] = a[n - 1];
all[n - 1] = a[n - 1];
for(int i = n - 2; i >= 0; i--){
start[i] = start[i + 1] + a[i] > a[i]? start[i + 1] + a[i] : a[i];//start[i] = max{a[i], start[i+1]+a[i]}
all[i] = start[i] > all[i + 1] ? start[i] : all[i + 1]; //all[i] = max{start[i], all[i+1]}
}
return all[0];
}
/* O(n) DP算法(O(1)空间) */
static int maxSubarraySum4(int *a, int n){
int start = a[n - 1];
int all = a[n - 1];
for(int i = n - 2; i >= 0; i--){
start = start + a[i] > a[i]? start + a[i] : a[i];
all = start > all ? start : all;
}
return all;
}
解法4：
/* O(n) 最优算法 */
/*
最优的解是只扫描数组一遍，因此时间为 O(n)。假设 x1, x2, ..., xt 是最优解。
那么，显然， 对任何 i <= t，x1, x2,..., xi 之和不可能为负。
否则，砍去这一段，我们可以得到更大的值，这些该段的最优性矛盾。
这就是说，最优解的段前缀不可能为负。而换句话说，如果一个段的和为负，则不可能是最优解的一部分。
一开始，令当前段为从 x1 开始的段，置为空。我们从数组开始向前搜索，并把遇到的数加入当前段 s，同时记录目前遇到的最大和。
这个过程一直持续到加入某个数 xi，使得 s 之和为负，则清空 s，然后以 xi 的下一个元素为当前段的开始，继续向前搜索。
重复这个过程直到数组结束。在实现时，并不需要维护集合 s 并每次都对其对和，而只需要维护一个当前段的和，
当有新元素加入当前段时，更新段的和；当重新开始一个段时，清 0 该段之和。
*/
static int maxSubarraySum(int *a, int n){
int sum = 0, max_sum = INT_MIN;
for(int i = 0; i < n; i++){
sum += a[i];
if(sum > max_sum)
max_sum = sum;
if(sum < 0) //前缀<0时可以去掉sum的累积和
sum = 0;
}
return max_sum;
}
/* O(n) 最优算法（记录左右边界） */
static int maxSubarraySum5(int *a, int n){
int sum = 0, max_sum = INT_MIN;
int max_low = 0, max_high = 0; //最优子数组左右边界
int low = 0; //当前非<0前缀的子数组首下标
for(int i = 0; i < n; i++){
sum += a[i];
if(sum > max_sum){
max_sum = sum;
max_high = i;
max_low = low;
}
if(sum < 0){ //前缀<0时可以去掉sum的累积和
sum = 0;
low = i + 1;
}
}
printf("max_low = %d, max_high = %d\n", max_low, max_high);
return max_sum;
}
测试：
//***************************************************************************************/
//* 编程之美2.14 —— 求数组的子数组之和的最大值（微软亚研2006） 皮皮 2014-9-4 */
//***************************************************************************************/
#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <malloc.h>
#include <limits.h>
int main(){
assert( freopen("BOP\\maxSubarraySum.in", "r", stdin) );
int cases; //测试案例数目
scanf("%d", &cases);
while(cases--){
int n; //每个案例中数组元素个数
scanf("%d", &n);
int *a = (int *)malloc(sizeof(int) * n);
for(int i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
printf("%d\n", maxSubarraySum1(a, n));
printf("%d\n", maxSubarraySum2(a, 0, n - 1));
printf("%d\n", maxSubarraySum3(a, n));
printf("%d\n", maxSubarraySum4(a, n));
printf("%d\n", maxSubarraySum(a, n));
printf("%d\n\n", maxSubarraySum5(a, n));
}
fclose(stdin);
return 0;
}
测试案例：
4
7 -2 5 3 -6 4 -8 6
6 1 -2 3 5 -3 2
6 0 -2 3 5 -1 2
5 -9 -2 -3 -5 -3
answer:
8 [1 - 2]
8 [2 - 3]
9 [2 - 5]
-2 [1 - 1]
from:
http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/39083281
ref:
http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/39048485
时间： 2024-11-08 11:31:08