常系数齐次线性微分方程

二阶 变系数 齐次 线性微分方程:y‘‘+P(x)y‘+Q(x)y=0  _齐次就是右边等于0,P(x),Q(x)不是常数。

二阶 常系数 齐次 线性微分方程  y‘‘+py‘+qy=0  _其中p,q是常数。

假如y1,y2是y‘‘+py‘+qy=0 的解,那么通解的形式就是 C1y1+C2y2 = y

由于假如y=erx  y‘=rerx  y‘‘=r2erx

代入y‘‘+py‘+qy= r2erx + prerx + qerx = erx(r2+pr+q) = 0

所以 r2+pr+q=0

情况1  r2+pr+q=0 有两个不同的解,即 p2 - 4q>0

可解r1,r2。  C1er1x+C2er2x = Y

情况2  r2+pr+q=0 有相同的解r1=r2,即 p2 - 4q = 0

r1=er1x1   既然y2/y1=u(x)

y2=u(x) er1x  

y2‘=(u‘+r1u) er1x  

y2‘‘= (u‘‘+r1u‘)er1x+r1(u‘+r1u) er1x = (u‘‘+2r1u‘+r12u)er1x

代入y‘‘+py‘+qy=0

quer1x + p(u‘+r1u) er1x+(u‘‘+2r1u‘+r12u)er1x =0 -> er1x (qu+p(u‘+r1u)+ (u‘‘+2r1u‘+r12u) )=0

-> u(q+r1p+r12)+u‘(p+2r1)+u‘‘=0 -> u‘‘=0

所以u‘ = C  u=Cx 且取 u=x!  所以y2=xer1x 

Y=C1er1x  + C2xer1x 

情况3  r2+pr+q=0 有一对共轭解r1=a+pi   r2=a-pi  即 p2 - 4q < 0

此时本应该 y1=er1x=e(a+pi)x   y2=e(a-pi)x  但这种形式不好!

要用 eio=cos(o)+isin(o)  结果得到y1=eax epix=eax(cos(px)+isin(px)) y2同理

最后y1 y2处理

Y1=(y1+y2)/2=eax cos(px)

Y2=(y1-y2)/2=eax sin(px)

Y=C1Y1+C2Y2=eax (C1cos(px)  + C2sin(px))

时间: 2024-11-06 03:41:03

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