二阶 变系数 齐次 线性微分方程:y‘‘+P(x)y‘+Q(x)y=0 _齐次就是右边等于0,P(x),Q(x)不是常数。
二阶 常系数 齐次 线性微分方程 y‘‘+py‘+qy=0 _其中p,q是常数。
假如y1,y2是y‘‘+py‘+qy=0 的解,那么通解的形式就是 C1y1+C2y2 = y
由于假如y=erx y‘=rerx y‘‘=r2erx
代入y‘‘+py‘+qy= r2erx + prerx + qerx = erx(r2+pr+q) = 0
所以 r2+pr+q=0
情况1 r2+pr+q=0 有两个不同的解,即 p2 - 4q>0
可解r1,r2。 C1er1x+C2er2x = Y
情况2 r2+pr+q=0 有相同的解r1=r2,即 p2 - 4q = 0
r1=er1x1 既然y2/y1=u(x)
y2=u(x) er1x
y2‘=(u‘+r1u) er1x
y2‘‘= (u‘‘+r1u‘)er1x+r1(u‘+r1u) er1x = (u‘‘+2r1u‘+r12u)er1x
代入y‘‘+py‘+qy=0
quer1x + p(u‘+r1u) er1x+(u‘‘+2r1u‘+r12u)er1x =0 -> er1x (qu+p(u‘+r1u)+ (u‘‘+2r1u‘+r12u) )=0
-> u(q+r1p+r12)+u‘(p+2r1)+u‘‘=0 -> u‘‘=0
所以u‘ = C u=Cx 且取 u=x! 所以y2=xer1x
Y=C1er1x + C2xer1x
情况3 r2+pr+q=0 有一对共轭解r1=a+pi r2=a-pi 即 p2 - 4q < 0
此时本应该 y1=er1x=e(a+pi)x y2=e(a-pi)x 但这种形式不好!
要用 eio=cos(o)+isin(o) 结果得到y1=eax epix=eax(cos(px)+isin(px)) y2同理
最后y1 y2处理
Y1=(y1+y2)/2=eax cos(px)
Y2=(y1-y2)/2=eax sin(px)
Y=C1Y1+C2Y2=eax (C1cos(px) + C2sin(px))