11091 最优自然数分解问题

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题型: 编程题   语言: C++;C;VC;JAVA

Description

问题描述：设n是一个正整数。
（1）现在将n分解为若干个互不相同的自然数之和，且使这些自然数的乘积最大。
（2）现在将n分解为若干个自然数之和，且使这些自然数的乘积最大。
编程任务：对于给定的正整数n，编程计算问题（1）和（2）的最优分解的最大乘积。

注意：
1. 这里的自然数不含0但允许为1。
2. 特别地，当整数n无法分解为若干互不相同的加数时，即自身视为单独的一个加数，比如输入2，问题（1）的解输出为2。
而如果整数n可以分解为若干互不相同的加数时，不考虑自身为单独加数的情况，比如4，问题（1）的解输出为3，而非4。
3. 若干互不相同自然数或若干自然数，这个若干可>=1，也就是可以为1。

输入格式

只有一个正整数n(1<=n<=100)。

输出格式

输出待解问题（1）和（2）的最大乘积，中间空格相连，这两个数可能较大请皆用64位整数。

如，输入n为10，若加数互不相同，则n=2+3+5，此时最大乘积为2*3*5=30。
若加数可相同，则n=2+2+3+3，此时最大乘积为2*2*3*3=36。

输入样例

10

输出样例

30 36

提示

分析：
注意无论是（1）还是（2），乘积皆用64位整数表示。

（1）分解为互不相同自然数之和

注意到： 若a+b等于一个常数，则|a-b|越小，ab就越大。
要使得加数互不相同，又尽可能集中，那加数只能是连续的自然数了。

贪心策略：将n分成从2开始的连续的自然数的和。如果最后剩下一个数，将此剩余数在后项优先的方式下均匀地分给前面各项。

（2）分解为若干自然数之和

注意到： 若a+b等于一个常数，则|a-b|越小，ab就越大。
若 n = m1+m2+...+mk，则 -1 <= (mi-mj) <= 1，（1<=i<=k， 1<=j<=k），即任意加数的差距不超过正负1。
由于拆分的加数可以相同，任何一个数拆后乘积总比不拆强，因此拆到极尽，极尽的加数为3或2，且拆为3比拆为2好，因此优先拆为3。

贪心策略：
极尽拆解，尽可能先将n拆成3,3,3,...,3；若拆成若干3后还有剩余，则为2，或2和2。

归纳公式如下：
1)max{m1*m2*...*mk} = 3^(n/3)        if n(mod 3)等于0
2)max{m1*m2*...*mk} = 4*3^[(n-4)/3]  if n(mod 3)等于1
3)max{m1*m2*...*mk} = 2*3^[(n-2)/3]  if n(mod 3)等于2

另外此题所涉的64位整数，如何使用？

编译环境不同，对64位整数的定义和输入输出略有不同：
1） gnu gcc/g++ 中long long类型，或unsigned long long,
输入输出用cin和cout直接输出，用scanf和printf也可以的（但本OJ系统不支持！）。
long long a;
cin >> a;
cout << a;

也可以使用:(注意一下,本OJ系统的gcc/g++不支持64位整数以"%I64d"形式输出,
但标准gnu gcc是支持如下的,在codeblocks上可以无误运行)
long long a;
scanf("%I64d",&a);
printf("%I64d",a);

2） VC中用__int64类型，或unsigned __int64
__int64 a;
scanf("%I64d",&a);
printf("%I64d",a);
vc下，64整数不要用cin和cout来输入输出，据说vc下64位整数兼容不好，会出错！大家可测试一下如下程序在vc下是否会出错？
__int64 a;
cin >> a;
cout << a;

作者

zhengchan

我的实现代码：

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;
/*
测试数据：

1

2

3

4

10

30

*/
int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    if(n == 1 || n == 2)
    {
        // 排除n=1,2的情况
        cout << n << " " << n;
    }else{

        // 互不相同自然数之和
        long long _res1 = 1;
        if (n == 3 || n == 4) {
            // 排除n=3,4的情况
            _res1 = n - 1;
        }else{

            int _count = 0;
            int _rest = 0,_avg = 0,_mod = 0;
            int a[n + 1];// a[0] 和 a[1]未使用

            for(int i = 2; i <= n; i++){
                // 初始化a
                a[i] = 1;
            }

            for(int i = 2; i <= n; i++)
            {
                _count += i;
                if(_count > n)
                {
                    _rest = n - (_count - i);// 多出来的部分

                    if (_rest < (i - 2)) {// 不够每个已选的数都分到1
                        _avg = 1;
                        _mod = 0;
                    }else{// 每个已选的数至少能分到1
                        _avg = _rest / (i - 2);// 平均分个前i - 2个已确定的数
                        _mod = _rest % (i - 2);// 平均分后剩下的
                    }

                    for(int j = i - 1; j >= i - _rest; j--){
                        // 从后往前分配多出来的部分
                        a[j] += _avg;
                    }

                    a[i-1] += _mod;//最后一位+_mod
                    break;
                }

                a[i] = i;
            }

            for(int i = 2; i <= n; i++)
            {
                _res1 *= a[i];
            }
        }

        //若干自然数之和
        /*
         归纳公式如下：
         1)max{m1*m2*...*mk} = 3^(n/3)        if n(mod 3)等于0
         2)max{m1*m2*...*mk} = 4*3^[(n-4)/3]  if n(mod 3)等于1
         3)max{m1*m2*...*mk} = 2*3^[(n-2)/3]  if n(mod 3)等于2

         */

        long long _res2 = 1;

        if(n % 3 == 0){

            _res2 = pow(3,n/3);
        }else if(n % 3 == 1){

            _res2 = 4*pow(3,(n-4)/3);
        }else{

            _res2 = 2*pow(3,(n-2)/3);
        }
        cout << _res1 << " " << _res2;
    }

    cout << endl;
    return 0;
}