数字之谜

问题1：从1,2,3，····，n，共有多少个1数字？

例子从1-12，共有5个1数字，结果如下

思路

我们知道最大值N，

暴力法：就是计算1-n的每个数里还有1数字的个数，然后相加即可，时间复杂度O(N*(每个数字的位数长度))

对于每个数，计算它还有1数字的个数的思路

先取来每位数字，对于一个数m，它的位数长度我们用length（int m）方法来求得

1）计算整数位数思路如下

// function 23: 计算一个整数有多少位数
// 输入： 一个整数
// 输出：整数的位数
int IntData_number(int N)
{
	int data = N;
	int length  = 0;
	while(data != 0)
	{
		data = data/10;
		length ++;
	}
	return length ;
}

2）抽取整数第i位操作思路如下

	n = pow(10.0,i);
	bit = ( N % n ) / (n/10) ;

3）然后对每一位判断是不是1即可

优化法：首先我们能得到最大数N的位数为length（用到的方法如上）

然后我们转换问题：数字的组合排列问题

思路如下

int f(int N)
{
	int result = 0;
	int length = 0;
	int bit = 0;
	int n = 0;
	int now = 0;

	if( N>0 )
	{
		// 对于长度为1 的数字处理
		if(N<=9)
			return 1;

		length = String::IntData_number(N);
		//对于长度>1的数字处理
			// 对个位处理
				// 如果个位是 0，则高位有（ n/10 +1（算上0） - 1（因为个位是0，最大的数不能要））个选择
				if( N%10  ==  0 )
					result = N/10 ;
				// 否则 则高位有 （ n/10 +1（算上0））个选择
				else result = N/10 +1;

			// 对2 -（n-1）位处理
			for(int i = 2;i<length;i++)
			{
				//获取第i位数字
					n = pow(10.0,i);
					bit = ( N % n ) / (n/10) ;
				//第i位为 0，则高位的选择为 N/ (10^i) +1-1(因为包括0，不包括最高位)
				//低位选择为 10^（i-1）
				if(bit == 0)
				{
					now = (N/n )*(n/10) ;
				}
				//第i位为1，则高位的选择为 N/ (10^i) +1-1(因为包括0，不包括最高位)
				//低位选择为 10^（i-1）
				//同时还得加上高位为最大时，低位上的选择N%（10^(i-1)）+1(因为包括 0)
				else if(bit == 1)
				{
					now = (N/n )*(n/10) ;
					now += N % (n/10) +1;
				}
				//第i位>1，则高位的选择为 N/ (10^i) +1(因为包括0，包括最高位)
				//低位选择为 10^（i-1）
				else
				{
					now = (N/n+1)*(n/10) ;
				}
				result += now ;
			}

			// 对最后一位处理
			if(length > 1)
			{
				bit = N /(int)(pow(10.0,length-1));
				// 对于最后一位是 1，则其后面的数+1(因为包括0)
				if( bit==1 )
				{
					result += N % (int)(pow(10.0,length-1)) + 1;
				}
				// 否则 为 10^(n-1),每一个都有10个取值选择
				else if(bit > 1)
				{
					result += (int)(pow(10.0,length-1));
				}
			}
	}
	//else cout<<"N<=0"<<endl;
	return result;
}

优化法运行结果

部分截图如下

程序注释 每一行第一个数为N，第二个数为问题答案

问题2：

对于问题1，求出f（N），现在问题求出f（N）= N时N的最大值

对于数学来说，N值会很大，有可能超出int最大值，也可能不超出，这个我也没法证明

我的思路是从int最大值逐渐减小然后求得符合条件的N值

思路：

		int i = numeric_limits<int>::max(),m;
		while(true)
		{
			m = f(i);
			if(i == m)
			{
				cout<<i<<"     "<<m<<endl;
				break;
			}
			i--;
		}

结果：

程序运行结果如下

即求出的最大值为途中所示。

数字之谜