CodeVS1937 能量采集
2010年NOI全国竞赛
题目描述 Description
栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。
栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。
由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。
能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能 量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。
下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。
在这个例子中，总共产生了36的能量损失。
输入描述 Input Description
输入文件energy.in仅包含一行，为两个整数n和m。
输出描述 Output Description
输出文件energy.out仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。
样例输入 Sample Input
【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4
样例输出 Sample Output
【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
数据范围及提示 Data Size & Hint
对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；
对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；
对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；
对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。
测试通过 Accepted
总耗时: 12 ms
0 / 0 数据通过测试.
运行结果
测试点#energy1.in 结果:AC 内存使用量: 256kB 时间使用量: 1ms 测试点#energy10.in 结果:AC 内存使用量: 1004kB 时间使用量: 3ms 测试点#energy2.in 结果:AC 内存使用量: 256kB 时间使用量: 1ms 测试点#energy3.in 结果:AC 内存使用量: 256kB 时间使用量: 1ms 测试点#energy4.in 结果:AC 内存使用量: 256kB 时间使用量: 1ms 测试点#energy5.in 结果:AC 内存使用量: 256kB 时间使用量: 1ms 测试点#energy6.in 结果:AC 内存使用量: 256kB 时间使用量: 1ms 测试点#energy7.in 结果:AC 内存使用量: 256kB 时间使用量: 1ms 测试点#energy8.in 结果:AC 内存使用量: 256kB 时间使用量: 1ms 测试点#energy9.in 结果:AC 内存使用量: 256kB 时间使用量: 1ms
Analysis
先说一个小结论：
对于一个直角坐标系上的点(x,y)，由(0,0)到(x,y)的连线上，横纵坐标都是正整数的点有gcd(x,y)个
证明：http://blog.csdn.net/fsahfgsadhsakndas/article/details/51346126
这道题中每株植物的能量为2k+1，因为不包含自己所以k=gcd(x,y)-1，
于是ans=∑[ gcd(i,j)*2-1 ]
转化一下，我们枚举i=gcd(x,y)，
记f[i]为“gcd(x,y)=i的点有多少个”，即“有多少对(x,y)使得gcd(x,y)=i”
当x和y的范围相同时，我们可以用欧拉函数算出这个值
然而现在x和y的范围分别为n和m，欧拉函数失效了
这种方法是在hzwer上看到的：
f[i]=(n/i)(m/i)-f[ki] ( k<=min(n,m) )
应用了容斥
其原理很简单，(n/i)(m/i)表示有多少对(x,y)使得d|gcd(x,y)，那么这里面就包含了gcd=d,2d,3d....[n/d]d的数对
我们只需要gcd=d的，只需把那些2d,3d的减去就行了
当i=min(n,m)时，可以发现f[min(n,m)]是正确的，从f[min(n,m)]开始先前推就能得到所有的f[i]
很神奇吧？
这个方程很好懂，但是较难懂的就是hzw说它的时间复杂度是O(nlogn)，为此我写了个小程序，
计算(1+1/2+1/3+...1/n)，将其与log2(n)作比，发现当n=10的时候(1+1/2+1/3+...1/10)/logn=1.13，
而当n=10^8时，该比值为1.39，我又输出了中间的值，发现该比值是单调递增的，
于是乎，我们可以说在1到10^8内，近似地认为(1+1/2+1/3+...1/n)=logn
计算该方程的时间复杂度为O(nlogn)
回到题目：ans=f[x](2*x-1)，复杂度是O(n)的
Code
//CodeVS1937 能量采集 NOI2010
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define maxn 1000010
#define ll long long
using namespace std;
ll N, M, ans, f[maxn], m;
int main()
{
ll i, j, x;
scanf("%ld%ld",&N,&M);
m=min(N,M);
for(i=m;i;i--)
{
f[i]=(N/i)*(M/i);
for(j=(i<<1);j<=m;j+=i)f[i]-=f[j];
}
for(i=1;i<=m;i++)ans+=f[i]*(2*i-1);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}