谱聚类（spectral clustering）是广泛使用的聚类算法，比起传统的K-Means算法，谱聚类对数据分布的适应性更强，聚类效果也很优秀，同时聚类的计算量也小很多，更加难能可贵的是实现起来也不复杂。在处理实际的聚类问题时，个人认为谱聚类是应该首先考虑的几种算法之一。下面我们就对谱聚类的算法原理做一个总结。

一、谱聚类概述

　　　　谱聚类是从图论中演化出来的算法，后来在聚类中得到了广泛的应用。它的主要思想是把所有的数据看做空间中的点，这些点之间可以用边连接起来。距离较远的两个点之间的边权重值较低，而距离较近的两个点之间的边权重值较高，通过对所有数据点组成的图进行切图，让切图后不同的子图间边权重和尽可能的低，而子图内的边权重和尽可能的高，从而达到聚类的目的。

　　　　乍一看，这个算法原理的确简单，但是要完全理解这个算法的话，需要对图论中的无向图，线性代数和矩阵分析都有一定的了解。下面我们就从这些需要的基础知识开始，一步步学习谱聚类。

二、谱聚类基础之一：无向权重图

　　　　由于谱聚类是基于图论的，因此我们首先温习下图的概念。对于一个图\(G\)，我们一般用点的集合\(V\)和边的集合\(E\)来描述。即为\(G(V,E)\)。其中\(V\)即为我们数据集里面所有的点\((v_1, v_2,...v_n)\)。对于\(V\)中的任意两个点，可以有边连接，也可以没有边连接。我们定义权重\(w_{ij}\)为点\(v_i\)和点\(v_j\)之间的权重。由于我们是无向图，所以\(w_{ij} = w_{ji}\)。

　　　　对于有边连接的两个点\(v_i\)和\(v_j\)，\(w_{ij} >; 0\),对于没有边连接的两个点\(v_i\)和\(v_j\)，\(w_{ij}?= 0\)。对于图中的任意一个点\(v_i\)，它的度\(d_i\)定义为和它相连的所有边的权重之和，即
\[
d_i = \sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}
\]

　　　　利用每个点度的定义，我们可以得到一个nxn的度矩阵\(D\),它是一个对角矩阵，只有主对角线有值，对应第i行的第i个点的度数，定义如下：

\[
\mathbf{D} =
\left( \begin{array}{ccc}
d_1?& \ldots & \ldots \\ldots?&?d_2 & \ldots \\ ?
\vdots & \vdots & \ddots \\??
\ldots & \ldots & d_n \end{array} \right)
\]

　　　　利用所有点之间的权重值，我们可以得到图的邻接矩阵\(W\)，它也是一个nxn的矩阵，第i行的第j个值对应我们的权重\(w_{ij}\)。

　　　　除此之外，对于点集\(V\)的的一个子集\(A \subset V\)，我们定义：
\[
|A|: = 子集A中点的个数
\]

\[
vol(A): = \sum\limits_{i \in A}d_i
\]

三、谱聚类基础之二：相似矩阵

　　　　在上一节我们讲到了邻接矩阵\(W\)，它是由任意两点之间的权重值\(w_{ij}\)组成的矩阵。通常我们可以自己输入权重，但是在谱聚类中，我们只有数据点的定义，并没有直接给出这个邻接矩阵，那么怎么得到这个邻接矩阵呢？

　　　　基本思想是，距离较远的两个点之间的边权重值较低，而距离较近的两个点之间的边权重值较高，不过这仅仅是定性，我们需要定量的权重值。一般来说，我们可以通过样本点距离度量的相似矩阵\(S\)来获得邻接矩阵\(W\)。

　　　　构建邻接矩阵\(W\)的方法有三类。\(\epsilon\)-邻近法，K邻近法和全连接法。

　　　　对于\(\epsilon\)-邻近法，它设置了一个距离阈值\(\epsilon\)，然后用欧式距离\(s_{ij}\)度量任意两点\(x_i\)和\(x_j\)的距离。即相似矩阵的\(s_{ij} = |x_i-x_j|_2^2\),??然后根据\(s_{ij}\)和\(\epsilon\)的大小关系，来定义邻接矩阵\(W\)如下：

\[
w_{ij}=
\begin{cases}
0& {s_{ij} >; \epsilon}\\epsilon& {{s_{ij}?\leq \epsilon}}
\end{cases}
\]

　　　　从上式可见，两点间的权重要不就是\(\epsilon\),要不就是0，没有其他的信息了。距离远近度量很不精确，因此在实际应用中，我们很少使用\(\epsilon\)-邻近法。

　　　　第二种定义邻接矩阵\(W\)的方法是K邻近法，利用KNN算法遍历所有的样本点，取每个样本最近的k个点作为近邻，只有和样本距离最近的k个点之间的\(w_{ij} >; 0\)。但是这种方法会造成重构之后的邻接矩阵W非对称，我们后面的算法需要对称邻接矩阵。为了解决这种问题，一般采取下面两种方法之一：

　　　　第一种K邻近法是只要一个点在另一个点的K近邻中，则保留\(s_{ij}\)

\[
w_{ij}=w_{ji}=
\begin{cases}
0& {x_i \notin KNN(x_j) \;and \;x_j \notin KNN(x_i)}\exp(-\frac{|x_i-x_j|_2^2}{2\sigma^2})& {x_i \in KNN(x_j)\; or\; x_j \in KNN(x_i})
\end{cases}
\]

　　　　第二种K邻近法是必须两个点互为K近邻中，才能保留\(s_{ij}\)

\[
w_{ij}=w_{ji}=
\begin{cases}
0& {x_i \notin KNN(x_j) \;or\;x_j \notin KNN(x_i)}\exp(-\frac{|x_i-x_j|_2^2}{2\sigma^2})& {x_i \in KNN(x_j)\; and \; x_j \in KNN(x_i})
\end{cases}
\]

　　　　第三种定义邻接矩阵\(W\)的方法是全连接法，相比前两种方法，第三种方法所有的点之间的权重值都大于0，因此称之为全连接法。可以选择不同的核函数来定义边权重，常用的有多项式核函数，高斯核函数和Sigmoid核函数。最常用的是高斯核函数RBF，此时相似矩阵和邻接矩阵相同：
\[
w_{ij}=s_{ij}=exp(-\frac{|x_i-x_j|_2^2}{2\sigma^2})
\]

　　　　在实际的应用中，使用第三种全连接法来建立邻接矩阵是最普遍的，而在全连接法中使用高斯径向核RBF是最普遍的。

四、谱聚类基础之三：拉普拉斯矩阵

　　　　单独把拉普拉斯矩阵(Graph Laplacians)拿出来介绍是因为后面的算法和这个矩阵的性质息息相关。它的定义很简单，拉普拉斯矩阵\(L= D-W\)。\(D\)即为我们第二节讲的度矩阵，它是一个对角矩阵。而\(W\)即为我们第二节讲的邻接矩阵，它可以由我们第三节的方法构建出。

　　　　拉普拉斯矩阵有一些很好的性质如下：

　　　　1）拉普拉斯矩阵是对称矩阵，这可以由\(D\)和\(W\)都是对称矩阵而得。

　　　　2）由于拉普拉斯矩阵是对称矩阵，则它的所有的特征值都是实数。

　　　　3）对于任意的向量\(f\),我们有
\[
f^TLf = \frac{1}{2}\sum\limits_{i,j=1}^{n}w_{ij}(f_i-f_j)^2
\]

　　　　　　这个利用拉普拉斯矩阵的定义很容易得到如下：

\[
f^TLf = f^TDf - f^TWf = \sum\limits_{i=1}^{n}d_if_i^2 - \sum\limits_{i,j=1}^{n}w_{ij}f_if_j
\]

\[
=\frac{1}{2}(?\sum\limits_{i=1}^{n}d_if_i^2 - 2?\sum\limits_{i,j=1}^{n}w_{ij}f_if_j + \sum\limits_{j=1}^{n}d_jf_j^2) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i,j=1}^{n}w_{ij}(f_i-f_j)^2?
\]

　　　　4) 拉普拉斯矩阵是半正定的，且对应的n个实数特征值都大于等于0，即\(0 =\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq...?\leq \lambda_n\)， 且最小的特征值为0，这个由性质3很容易得出。

五、谱聚类基础之四：无向图切图

　　　　对于无向图\(G\)的切图，我们的目标是将图\(G(V,E)\)切成相互没有连接的k个子图，每个子图点的集合为：\(A_1,A_2,..A_k\)，它们满足\(A_i \cap A_j = \emptyset\),且\(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k = V\).

　　　　对于任意两个子图点的集合\(A, B \subset V\), \(A \cap B = ?\emptyset\), 我们定义A和B之间的切图权重为：
\[
W(A, B) = \sum\limits_{i \in A, j \in B}w_{ij}
\]

　　　　那么对于我们k个子图点的集合：\(A_1,A_2,..A_k\)，我们定义切图cut为：
\[
cut(A_1,A_2,...A_k) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{k}W(A_i, \overline{A}_i?)
\]

?　　　　其中\(\overline{A}_i?\)为\(A_i\)的补集，意为除\(A_i\)子集外其他V的子集的并集。

　　　　那么如何切图可以让子图内的点权重和高，子图间的点权重和低呢？一个自然的想法就是最小化\(cut(A_1,A_2,...A_k)\), 但是可以发现，这种极小化的切图存在问题，如下图：

　　　　我们选择一个权重最小的边缘的点，比如C和H之间进行cut，这样可以最小化\(cut(A_1,A_2,...A_k)\), 但是却不是最优的切图，如何避免这种切图，并且找到类似图中"Best Cut"这样的最优切图呢？我们下一节就来看看谱聚类使用的切图方法。

六、谱聚类之切图聚类

　　　　为了避免最小切图导致的切图效果不佳，我们需要对每个子图的规模做出限定，一般来说，有两种切图方式，第一种是RatioCut，第二种是Ncut。下面我们分别加以介绍。

6.1 RatioCut切图

　　　　RatioCut切图为了避免第五节的最小切图，对每个切图，不光考虑最小化\(cut(A_1,A_2,...A_k)\)，它还同时考虑最大化每个子图点的个数，即：
\[
RatioCut(A_1,A_2,...A_k) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{W(A_i, \overline{A}_i?)}{|A_i|}
\]

　　　　那么怎么最小化这个RatioCut函数呢？牛人们发现，RatioCut函数可以通过如下方式表示。

　　　　我们引入指示向量\(h_j \in \{h_1, h_2,..h_k\}\; j =1,2,...k\),对于任意一个向量\(h_j\), 它是一个n维向量（n为样本数），我们定义\(h_{ij}\)为：

\[
h_{ij}=
\begin{cases}
0& {?v_i \notin A_j}\\frac{1}{\sqrt{|A_j|}}& {?v_i \in A_j}
\end{cases}
\]

　　　　那么我们对于\(h_i^TLh_i\),有：

\[
\begin{align} h_i^TLh_i & =?\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}\sum\limits_{n=1}w_{mn}(h_{im}-h_{in})^2 \\& =\frac{1}{2}(\sum\limits_{m \in A_i, n \notin A_i}w_{mn}(\frac{1}{\sqrt{|A_i|}} - 0)^2 + ?\sum\limits_{m \notin A_i, n \in A_i}w_{mn}(0 - \frac{1}{\sqrt{|A_i|}} )^2\\& = \frac{1}{2}(\sum\limits_{m \in A_i, n \notin A_i}w_{mn}\frac{1}{|A_i|} + ?\sum\limits_{m \notin A_i, n \in A_i}w_{mn}\frac{1}{|A_i|}\\& = \frac{1}{2}(cut(A_i, \overline{A}_i) \frac{1}{|A_i|} + cut(\overline{A}_i, A_i) \frac{1}{|A_i|}) \\& = ?\frac{cut(A_i, \overline{A}_i)}{|A_i|} \end{align}
\]

　　　　上述第（1）式用了上面第四节的拉普拉斯矩阵的性质3. 第二式用到了指示向量的定义。可以看出，对于某一个子图i，它的RatioCut对应于\(h_i^TLh_i\),那么我们的k个子图呢？对应的RatioCut函数表达式为：
\[
RatioCut(A_1,A_2,...A_k) = \sum\limits_{i=1}^{k}h_i^TLh_i = \sum\limits_{i=1}^{k}(H^TLH)_{ii} = tr(H^TLH)
\]

　　　　其中\(tr(H^TLH)\)为矩阵的迹。也就是说，我们的RatioCut切图，实际上就是最小化我们的\(tr(H^TLH)\)。注意到\(H^TH=I\),则我们的切图优化目标为:
\[
\underbrace{arg\;min}_H\; tr(H^TLH) \;\; s.t.\;H^TH=I
\]

　　　　注意到我们H矩阵里面的每一个指示向量都是n维的，向量中每个变量的取值为0或者\(\frac{1}{\sqrt{|A_j|}}\)，就有\(2^n\)种取值，有k个子图的话就有k个指示向量，共有\(k2^n\)种H，因此找到满足上面优化目标的H是一个NP难的问题。那么是不是就没有办法了呢？

　　　　注意观察\(tr(H^TLH)\)中每一个优化子目标\(h_i^TLh_i\),其中\(h\)是单位正交基， L为对称矩阵，此时\(h_i^TLh_i\)的最大值为L的最大特征值，最小值是L的最小特征值。如果你对主成分分析PCA很熟悉的话，这里很好理解。在PCA中，我们的目标是找到协方差矩阵（对应此处的拉普拉斯矩阵L）的最大的特征值，而在我们的谱聚类中，我们的目标是找到目标的最小的特征值，得到对应的特征向量，此时对应二分切图效果最佳。也就是说，我们这里要用到维度规约的思想来近似去解决这个NP难的问题。

　　　　对于\(h_i^TLh_i\)，我们的目标是找到最小的L的特征值，而对于\(tr(H^TLH) = \sum\limits_{i=1}^{k}h_i^TLh_i\)，则我们的目标就是找到k个最小的特征值，一般来说，k远远小于n，也就是说，此时我们进行了维度规约，将维度从n降到了k，从而近似可以解决这个NP难的问题。

　　　　通过找到L的最小的k个特征值，可以得到对应的k个特征向量，这k个特征向量组成一个nxk维度的矩阵，即为我们的H。一般需要对H矩阵按行做标准化，即
\[
h_{ij}^{*}= \frac{h_{ij}}{(\sum\limits_{t=1}^kh_{it}^{2})^{1/2}}
\]

　　　　由于我们在使用维度规约的时候损失了少量信息，导致得到的优化后的指示向量h对应的H现在不能完全指示各样本的归属，因此一般在得到nxk维度的矩阵H后还需要对每一行进行一次传统的聚类，比如使用K-Means聚类.

6.2 Ncut切图

　　　　Ncut切图和RatioCut切图很类似，但是把Ratiocut的分母\(|Ai|\)换成\(vol(A_i)\). 由于子图样本的个数多并不一定权重就大，我们切图时基于权重也更合我们的目标，因此一般来说Ncut切图优于RatioCut切图。
\[
NCut(A_1,A_2,...A_k) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{W(A_i, \overline{A}_i?)}{vol(A_i)}
\]

　　　　，对应的，Ncut切图对指示向量\(h\)做了改进。注意到RatioCut切图的指示向量使用的是\(\frac{1}{\sqrt{|A_j|}}\)标示样本归属，而Ncut切图使用了子图权重\(\frac{1}{\sqrt{vol(A_j)}}\)来标示指示向量h，定义如下:

\[
h_{ij}=
\begin{cases}
0& {?v_i \notin A_j}\\frac{1}{\sqrt{vol(A_j)}}& {?v_i \in A_j}
\end{cases}
\]

　　　　那么我们对于\(h_i^TLh_i\),有：

\[
\begin{align} h_i^TLh_i & =?\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}\sum\limits_{n=1}w_{mn}(h_{im}-h_{in})^2 \\& =\frac{1}{2}(\sum\limits_{m \in A_i, n \notin A_i}w_{mn}(\frac{1}{\sqrt{vol(A_i)}} - 0)^2 + ?\sum\limits_{m \notin A_i, n \in A_i}w_{mn}(0 - \frac{1}{\sqrt{vol(A_i)}} )^2\\& = \frac{1}{2}(\sum\limits_{m \in A_i, n \notin A_i}w_{mn}\frac{1}{vol(A_i)} + ?\sum\limits_{m \notin A_i, n \in A_i}w_{mn}\frac{1}{vol(A_i)}\\& = \frac{1}{2}(cut(A_i, \overline{A}_i) \frac{1}{vol(A_i)} + cut(\overline{A}_i, A_i) \frac{1}{vol(A_i)}) \\& = ?\frac{cut(A_i, \overline{A}_i)}{vol(A_i)} \end{align}
\]

　　　　推导方式和RatioCut完全一致。也就是说，我们的优化目标仍然是
\[
NCut(A_1,A_2,...A_k) = \sum\limits_{i=1}^{k}h_i^TLh_i = \sum\limits_{i=1}^{k}(H^TLH)_{ii} = tr(H^TLH)
\]

　　　　但是此时我们的\(H^TH \neq I\),而是\(H^TDH = I\)。推导如下：
\[
?h_i^TDh_i = \sum\limits_{j=1}^{n}h_{ij}^2d_j =\frac{1}{vol(A_i)}\sum\limits_{j \in A_i}d_j= \frac{1}{vol(A_i)}vol(A_i) =1
\]

　　　　也就是说，此时我们的优化目标最终为：
\[
\underbrace{arg\;min}_H\; tr(H^TLH) \;\; s.t.\;H^TDH=I
\]

　　　　此时我们的H中的指示向量\(h\)并不是标准正交基，所以在RatioCut里面的降维思想不能直接用。怎么办呢？其实只需要将指示向量矩阵H做一个小小的转化即可。

　　　　我们令\(H = D^{-1/2}F\), 则：\(H^TLH = F^TD^{-1/2}LD^{-1/2}F\)，\(H^TDH=F^TF = I\),也就是说优化目标变成了:
\[
\underbrace{arg\;min}_F\; tr(F^TD^{-1/2}LD^{-1/2}F) \;\; s.t.\;F^TF=I
\]

　　　　可以发现这个式子和RatioCut基本一致，只是中间的L变成了\(D^{-1/2}LD^{-1/2}\)。这样我们就可以继续按照RatioCut的思想，求出\(D^{-1/2}LD^{-1/2}\)的最小的前k个特征值，然后求出对应的特征向量，并标准化，得到最后的特征矩阵\(F\),最后对\(F\)进行一次传统的聚类（比如K-Means）即可。

　　　　一般来说， \(D^{-1/2}LD^{-1/2}\)相当于对拉普拉斯矩阵\(L\)做了一次标准化，即\(\frac{L_{ij}}{\sqrt{d_i*d_j}}\)

七、谱聚类算法流程

　　　　铺垫了这么久，终于可以总结下谱聚类的基本流程了。一般来说，谱聚类主要的注意点为相似矩阵的生成方式（参见第二节），切图的方式（参见第六节）以及最后的聚类方法（参见第六节）。

　　　　最常用的相似矩阵的生成方式是基于高斯核距离的全连接方式，最常用的切图方式是Ncut。而到最后常用的聚类方法为K-Means。下面以Ncut总结谱聚类算法流程。

　　　　输入：样本集D=\((x_1,x_2,...,x_n)\)，相似矩阵的生成方式, 降维后的维度\(k_1\), 聚类方法，聚类后的维度\(k_2\)

　　　　输出： 簇划分\(C(c_1,c_2,...c_{k_2})\).　

　　　　1) 根据输入的相似矩阵的生成方式构建样本的相似矩阵S

　　　　2）根据相似矩阵S构建邻接矩阵W，构建度矩阵D

　　　　3）计算出拉普拉斯矩阵L

　　　　4）构建标准化后的拉普拉斯矩阵\(D^{-1/2}LD^{-1/2}\)

　　　　5）计算\(D^{-1/2}LD^{-1/2}\)最小的\(k_1\)个特征值所各自对应的特征向量\(f\)

　　　　6) 将各自对应的特征向量\(f\)组成的矩阵按行标准化，最终组成\(n?\times k_1\)维的特征矩阵F

　　　　7）对F中的每一行作为一个\(k_1\)维的样本，共n个样本，用输入的聚类方法进行聚类，聚类维数为\(k_2\)。

　　　　8）得到簇划分\(C(c_1,c_2,...c_{k_2})\).　　　　　　　　　

八、谱聚类算法总结

　　　　谱聚类算法是一个使用起来简单，但是讲清楚却不是那么容易的算法，它需要你有一定的数学基础。如果你掌握了谱聚类，相信你会对矩阵分析，图论有更深入的理解。同时对降维里的主成分分析也会加深理解。

　　　　下面总结下谱聚类算法的优缺点。

　　　　谱聚类算法的主要优点有：

　　　　1）谱聚类只需要数据之间的相似度矩阵，因此对于处理稀疏数据的聚类很有效。这点传统聚类算法比如K-Means很难做到

　　　　2）由于使用了降维，因此在处理高维数据聚类时的复杂度比传统聚类算法好。

　　　　谱聚类算法的主要缺点有：

　　　　1）如果最终聚类的维度非常高，则由于降维的幅度不够，谱聚类的运行速度和最后的聚类效果均不好。

　　　　2) 聚类效果依赖于相似矩阵，不同的相似矩阵得到的最终聚类效果可能很不同。

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