题目链接：
https://codeforces.com/contest/1182/problem/E
题目大意：
f(x)=c^(2x−6)⋅f(x−1)⋅f(x−2)⋅f(x−3) for x≥4x≥4.
给你f1,f2,f3,n,c。求第n项的结果。
具体思路：
看到递推式想到用矩阵快速幂优化；但是如果都是乘法的话，是无法化成矩阵相乘的形式的。然后就开始想怎么将乘法转换成加法。推了一个多小时也没有推出来。。
具体的解题过程如下：
对于每一项，这一项里面包含的f1 和 f2 和 f3 和 c 的 个数都是能由它前面的能通过加法的形式实现的,最终结果再将这些乘起来就好了。
第i项中f1的个数 = 第i-1项中f1的个数+第i-2项中f1的个数+第i-3项中f1的个数；
f2，f3同理。
第i项中c的个数 = 第i-1项中c的个数 + 第i-2项中c的个数 + 第i-3项中c的个数 + 2*i - 6;
(g[i],g[i-1],g[i-2])=(g[i-1],g[i-2],g[i-3])*
[1 1 0
1 0 1
1 0 0 ].
(f[i],f[i-1],f[i-2],g[i-3],i,1) = (f[i-1],f[i-2],f[i-3],i-1,1)*
[ 1 1 0 0 0
1 0 1 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 1 0
-4 0 0 1 1
]
注意这里的矩阵最终解出的结果是指数，也就是说模数并不是1e9+7.而应该是phi(1e9+7)=1e9+6.
AC代码：
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 const int maxn = 2e6+20;
4 # define ll long long
5 # define inf 0x3f3f3f3f
6 const ll mod = 1e9+6;
7 ll MD=mod+1;
8 ll phi(ll x)
9 {
10 ll res=x,a=x;
11 for(ll i=2; i*i<=x; i++)
12 {
13 if(a%i==0)
14 {
15 res=res/i*(i-1ll);
16 while(a%i==0)
17 a/=i;
18 }
19 }
20 if(a>1ll)
21 res=res/a*(a-1ll);
22 return res;
23 }
24 struct Matrix_First
25 {
26 ll a[5][5];
27 Matrix_First operator *(Matrix_First b)
28 {
29 Matrix_First tmp;
30 for(int i=1; i<=3; i++)
31 {
32 for(int j=1; j<=3; j++)
33 {
34 tmp.a[i][j]=0;
35 for(int k=1; k<=3; k++)
36 {
37 tmp.a[i][j]=(tmp.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
38 while(tmp.a[i][j]<0)
39 tmp.a[i][j]+=mod;// 这是求指数的过程
40 tmp.a[i][j]%=mod;
41 }
42 }
43 }
44 return tmp;
45 }
46 } g1,g2,g3;
47 struct Matrix_Second
48 {
49 ll a[6][6];
50 Matrix_Second operator *(Matrix_Second b)
51 {
52 Matrix_Second tmp;
53 for(int i=1; i<=5; i++)
54 {
55 for(int j=1; j<=5; j++)
56 {
57 tmp.a[i][j]=0;
58 for(int k=1; k<=5; k++)
59 {
60 tmp.a[i][j]=(tmp.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
61 while(tmp.a[i][j]<mod)
62 tmp.a[i][j]+=mod;
63 tmp.a[i][j]%=mod;
64 }
65 }
66 }
67 return tmp;
68 }
69 } f;
70
71 Matrix_First qsm_First(Matrix_First t1,ll t2)
72 {
73 Matrix_First ans=t1;
74 t2--;
75 while(t2)
76 {
77 if(t2&1)
78 ans=ans*t1;
79 t1=t1*t1;
80 t2>>=1;
81 }
82 return ans;
83 }
84
85 Matrix_Second qsm_Second(Matrix_Second t1,ll t2)
86 {
87 Matrix_Second ans=t1;
88 t2--;
89 while(t2)
90 {
91 if(t2&1)
92 ans=ans*t1;
93 t1=t1*t1;
94 t2>>=1;
95 }
96 return ans;
97 }
98
99 ll qsm(ll t1,ll t2)
100 {
101 ll ans=1ll;
102 while(t2)
103 {
104 if(t2&1)
105 ans=ans*t1%MD;
106 t1=t1*t1%MD;
107 t2>>=1;
108 }
109 return ans;
110 }
111 int main()
112 {
113 ll n,f1,f2,f3,c;
114 scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&n,&f1,&f2,&f3,&c);
115 g1.a[1][1]=1;g1.a[1][2]=1;g1.a[1][3]=0;
116 g1.a[2][1]=1;g1.a[2][2]=0;g1.a[2][3]=1;
117 g1.a[3][1]=1;g1.a[3][2]=0;g1.a[3][3]=0;
118
119 g2.a[1][1]=1;g2.a[1][2]=1;g2.a[1][3]=0;
120 g2.a[2][1]=1;g2.a[2][2]=0;g2.a[2][3]=1;
121 g2.a[3][1]=1;g2.a[3][2]=0;g2.a[3][3]=0;
122
123 g3.a[1][1]=1;g3.a[1][2]=1;g3.a[1][3]=0;
124 g3.a[2][1]=1;g3.a[2][2]=0;g3.a[2][3]=1;
125 g3.a[3][1]=1;g3.a[3][2]=0;g3.a[3][3]=0;
126 g1=qsm_First(g1,(n-3ll));
127 g2=qsm_First(g2,(n-3ll));
128 g3=qsm_First(g3,(n-3ll));
129
130 ll num_1=g1.a[3][1];
131 ll num_2=g2.a[2][1];
132 ll num_3=g3.a[1][1];
133 f.a[1][1]=1;f.a[1][2]=1;f.a[1][3]=0;f.a[1][4]=0;f.a[1][5]=0;
134 f.a[2][1]=1;f.a[2][2]=0;f.a[2][3]=1;f.a[2][4]=0;f.a[2][5]=0;
135 f.a[3][1]=1;f.a[3][2]=0;f.a[3][3]=0;f.a[3][4]=0;f.a[3][5]=0;
136 f.a[4][1]=2;f.a[4][2]=0;f.a[4][3]=0;f.a[4][4]=1;f.a[4][5]=0;
137 f.a[5][1]=-4;f.a[5][2]=0;f.a[5][3]=0;f.a[5][4]=1;f.a[5][5]=1;
138 f=qsm_Second(f,n-3ll);
139 ll num_c=(3ll*f.a[4][1]+f.a[5][1]);
140 while(num_c<0)
141 num_c+=mod;
142 num_c%=mod;
143
144 ll ans=qsm(f1,num_1)%MD*qsm(f2,num_2)%MD;
145 // cout<<ans<<endl;
146 while(ans<0)
147 ans+=MD;
148 ans%=MD;
149 ans=ans*qsm(f3,num_3)%MD;
150 // cout<<ans<<endl;
151 while(ans<0)
152 ans+=MD;
153 ans%=MD;
154 ans=ans*qsm(c,num_c)%MD;
155 // cout<<ans<<endl;
156 while(ans<0)
157 ans+=MD;
158 ans%=MD;
159 printf("%lld\n",ans);
160 return 0;
161 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/letlifestop/p/11011697.html
时间： 2024-10-08 14:26:01