编程之美 1.8小飞的电梯调度算法

题目：

　　亚洲微软研究院所在的希格玛大厦一共有6部电梯。在高峰时间，每层都有人上下，电梯每层都停。实习生小飞常常会被每层都停的电梯弄的很不耐烦，于是他提出了这样一个办法：
　　由于楼层并不算太高，那么在繁忙的上下班时间，每次电梯从一层往上走时，我们只允许电梯停在其中的某一层。所有乘客从一楼上电梯，到达某层后，电梯停下来，所有乘客再从这里爬楼梯到自己的目的层。在一楼的时候，每个乘客选择自己的目的层，电梯则计算出应停的楼层。

问：电梯停在哪一层楼，能够保证这次乘坐电梯的所有乘客爬楼梯的层数之和最少？

方法一：暴力枚举，时间复杂度O(N^2)

用数组nPerson[i]存放在第i层下楼的人数，在不同的i层停靠，求所有人需要走的楼层总和，找出总和最小的楼层Target，输出。用两重循环完成计算。

 1 /*
 2 * 1.8.1
 3 *
 4 *  Created on: Jan 9, 2016
 5 *      Author: SeekHit
 6 */
 7 #include "iostream"
 8 #define N 100
 9
10 using namespace std;
11
12 int func(int n, int nPerson[]){
13
14     int nFloor, nMinFloor=0, TargetFloor=0;
15
16     for (int i = 1; i <= n; i++){
17         nFloor = 0;
18         for (int j = 1; j<i; j++)
19             nFloor += (i - j)*nPerson[j];
20         for (int j = i + 1; j <= n; j++)
21             nFloor += (j - i)*nPerson[j];
22
23         if (TargetFloor==0||nMinFloor>nFloor){    //如果没有TargetFloor==0，nMinFloor>nFloor始终无法满足，不执行if里面的内容
24             nMinFloor = nFloor;
25             TargetFloor = i;
26
27         }
28     }
29     return TargetFloor;
30 }
31
32 int main(){
33     int n, Target;
34     int nPerson[N];
35     cout<<"输入楼层总数n:"<<endl;
36     cin>>n;
37     cout<<"输入每层楼下的人数"<<endl;
38     for (int i = 1; i <= n; i++){
39         cout<<"第"<<i<<"层下的人数："<<endl;
40         cin>>nPerson[i];
41     }
42
43     Target = func(n, nPerson);
44     cout<<"电梯停靠最优层数为:"<<Target<<endl;
45 }

方法二：时间复杂度为O(N)的动态规划的算法

降低时间复杂度，求解。假设停在i层，可以计算出所有乘客需要爬的楼层总数Y。设N1个人在i层以下下楼，N2个人在i层下楼，N3个人在i层以上下楼。

如果现在电梯改在i-1层停靠，现在所有i层和i层以上的都要多走一楼，相当于，总共多爬了N2+N3层，而i层以下的所有人少爬了一楼，就是少了N1层。总数变成了N2+N3-N1层，如果N2+N3-N1<Y，说明降一层停靠更优。

反之，如果i+1层停靠，所有乘客爬的楼层数变成了N1+N2-N3，如果N1+N2-N3<Y说明升一层停靠更优。

书上给的程序就是用升楼的方式来判断的，也可以用降楼来动态规划最优楼层数。

 1 /*
 2 * 1.8.2动态规划
 3 *
 4 *  Created on: Jan 9, 2016
 5 *      Author: SeekHit
 6 */
 7 #include "iostream"
 8 #define N 100
 9
10 using namespace std;
11
12 int func(int n, int nPerson[]){
13
14     int nMinFloor=0, TargetFloor=1;
15     int N1=0,N2=nPerson[1],N3=0;
16
17 //计算N3，就停靠在1楼时，需要走的总楼层数
18     for (int i = 2; i <= n; i++){
19         N3+=nPerson[i];
20         nMinFloor+=nPerson[i]*(i-1);
21     }
22
23     for(int i=2;i<=n;i++){
24         if(N1+N2<N3){
25             TargetFloor=i;
26             nMinFloor+=(N1+N2-N3);
27             N1+=N2;
28             N2+=nPerson[i];
29             N3-=nPerson[i];
30         }
31         else
32             break;
33     }
34     return TargetFloor;
35 }
36
37 int main(){
38     int n, Target;
39     int nPerson[N];
40     cout<<"输入楼层总数n:"<<endl;
41     cin>>n;
42     cout<<"输入每层楼下的人数"<<endl;
43     for (int i = 1; i <= n; i++){
44         cout<<"第"<<i<<"层下的人数："<<endl;
45         cin>>nPerson[i];
46     }
47
48     Target = func(n, nPerson);
49     cout<<"电梯停靠最优层数为:"<<Target<<endl;
50 }

运行结果：

扩展问题：

往上爬比往下走要累，往上爬一层消耗k个单位的能量，往下走只消耗1个单位的能量，求让所有人消耗的能量最少。

解法：

只需将计算N1+N2-N3变成N1+N2-N3*K即可。其余的都一样。