典型字符串匹配算法实现 - 单字符串匹配算法

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相信大家对快捷键ctrl+F是做什么用的都应该很熟悉了，无论是文本编辑、网页浏览等程序上它都意味着字符串搜索，我们提供一个关键字，它将找到当前页面上的所有该关键字所在的位置。关键字称为模式串，在文本T中寻找模式串P出现的所有出现的位置，解决这种问题的算法叫做字符串匹配算法。字符串匹配算法可以说是计算机科学中最古老、研究最广泛的问题之一，并且字符串匹配的应用也随处可见，特别是信息检索领域和计算生物学领域。

字符串匹配算法有很多很多，多到可以出一本书了《柔性字符串匹配》...感兴趣的同学可以查阅一下这本书。

其中最著名可算是Knuth-Morris-Pratt（KMP）算法和Boyer-Moore（BM）算法，因为这两个经典算法都将匹配算法的时间复杂度的理论值从O(m*n)降到了线性的O(m+n)，由此促使我好好研究了一下。除了经典算法，简洁但不失效率的较新的Horspool算法和Sunday算法也是我不可错过的。接下来先从最最最简单的朴素匹配算法开始讲起吧：

（ 注：文中的算法程序，输入文本T、模式串P，打印出P在T中的所有位置起点。）

1、朴素匹配算法

尽管很多资料上将最简单的匹配算法成为暴力匹配，但我仍然喜欢算法导论上的叫法，朴素的匹配算法。

文本T长度为m，模式串P长度为n。算法从文本第1位从左向右开始与模式串P进行匹配，无论是否匹配成功，模式串都后移1位开始继续进行重新匹配，总共进行m-n+1次匹配。算法极其简单，因此效率极其有限，时间复杂度为O(m * n)，故不常被用。

图例：

第一步：

第二步：（模式串后移1位）

第三步、第四步...

代码实现：

// 1.朴素的字符串匹配算法
void NaiveMatcher(const char *T, const char *P)
{
    int m = strlen(T);
    int n = strlen(P);  

    for (int i=0; i<=m-n; i++)
    {
        int j;
        for (j=0; j<n; j++)
            if (T[i+j] != P[j]) break;  

        if (j==n) cout<<i<<" ";
    }
    cout<<endl;
}

2、KMP算法

要提高匹配算法的速度，关键点就在于每次匹配结束后，模式串需要向后偏移的位数。朴素匹配算法中不管三七二十一，每次就移一位，效率低下。所以人们开始思考是否能够通过之前的匹配结果产生某些知识，使得每次向后偏移的位数尽量得大来获得高效性。

后来人们成功了，最有名的的便是Knuth、Morris、Pratt三个人设计的线性时间字符串匹配算法，俗称KMP算法，在学校的算法课中必备，在算法导论中也是字符串匹配章节里压轴的。这个算法被人骂很难理解，个人但弄明白之后其实还是挺好懂得。算法通过匹配成功的模式串P的前缀来得到每次向后偏移的位数。

  1. 首先，算法需要对模式串P进行预处理，得到一个部分匹配表kt：

    表中kt[i]等于字符串P[0-i]的前缀和后缀的最长的共有元素的长度。（例如p[0-3] = "abab"，它的前缀有”a“，”ab“，”aba“，后缀有”b“，”ab“，”bab“，共有元素为”ab“，其长度为2，所以kt[3]等于2）。

  2. 然后每次开始从左向右匹配，因此此类算法隶属于基于前缀搜索的方法:

    2.1 若前k位匹配成功，则 后移位数s = 已匹配的字符数k - 部分匹配表对应值kt[k]：

    2.2 若第1位就匹配不成功，则 后移1位。

代码实现：

// 2.KMP算法
int* PartialMatchTable(const char *P)
{
    int m = strlen(P);
    int *kt = new int[m];
    kt[0] = 0;  

    for (int i = 1, k = 0; i < m; ++i)
    {
        while (k>0 && P[k]!=P[i])
            k = kt[k];
        if (P[k] == P[i])
            k = k+1;
        kt[i] = k;
    }
    return kt;
}  

void KmpMatcher(const char *T, const char *P)
{
    int m = strlen(T);
    int n = strlen(P);
    int *kt = PartialMatchTable(P);  

    int i=0, k=0;
    while (i<=m-n)
    {
        while (k<n && T[i+k] == P[k])
            k++;  

        if (k==0) {
            k = 0;
            i = i+1;
        }else
        {
            if (k==n) cout<<i<<" ";
            i = i+k-kt[k-1];
            k = kt[k-1];
        }
    }
    cout<<endl;
    delete []kt;
}

KMP算法分为两个步骤，先通过P计算出部分匹配表，时间复杂度为O(n)；再通过此表进行匹配位移，时间复杂度为O(m)，故理论上的总时间复杂度为O(m+n)，达到线性效率。理论效率高，但实际上却未特别突出。

参考文章：

  1. 《字符串匹配的KMP算法》
  2. 《算法导论》第32章"字符串匹配"

3、Boyer-Moore算法

Boter-Moore又是一个经典算法，传说中比KMP还快，由Bob Boyer与J Strother Moore在1977年提出。

与KMP有两个不同点：①每次匹配时，匹配方向不同，BM算法每次从右向左匹配，此类算法隶属于基于后缀搜索的方法。②匹配后向后偏移的位数由两种计算方式得到：坏字符偏移和好后缀偏移。下面详细介绍一下这两种方式：

上图中，文本中匹配成功的“AGAG”称为“好后缀”，文本中匹配失败的“C”称为“坏字符”。

一、坏字符偏移

当出现一个坏字符时，从模式串中找到最靠右的这个字符，将其位移到与坏字符相对，然后继续匹配。此时会有两种情况：

  • ①模式串中存在坏字符，则

  • ②模式串中不存在坏字符，则将模式串移动到坏字符后一位

二、好后缀偏移

在模式串中找到除“好后缀”外，最靠右的与“好后缀”相同的子串，且子串前一位字符不等于“好后缀”前一位字符，则将此子串位移到与“好后缀”对应，然后继续匹配。此时会有三种情况：

  • ①模式串存在除“好后缀”外，最靠右的与“好后缀”相同的子串，且子串前一位字符不等于“好后缀”前一位字符，则

  • ② 模式串不存在上述子串，但模式串的前缀存在与“好后缀”的后缀相同的字符串，则此时将此相同字符串位移对应

  • ③模式串不存在上述各种子串，则将模式串后移自己的长度n

**BM算法依然分为两步：

  1. 根据模式串P先计算出坏字符表bc和好后缀表gs，至于如何高效计算出两个表，其中gs表需要先求后缀表suff，详细请参考下面的参考文章，几位大牛已经讲得很详细了。图例:

  2. 根据坏字符表bc和好后缀表gs，依次匹配位移。

**BM总位移量计算：

IF 匹配完全成功
  根据好后缀偏移。
ELSE
  计算坏字符偏移量和好后缀偏移量，选择较大的偏移量进行偏移。

代码实现：

// 3.Boyer-Moore算法
int* BadCharacter(const char *P)
{
    int m = strlen(P);
    int *bc = new int[256];
    for (int i=0; i<256; i++)
        bc[i] = m;
    for (int i=0; i<m; i++)
        bc[(int)P[i]] = m - i - 1;
    return bc;
}  

int* suffixes(const char *P)
{
    int m = strlen(P);
    int f = 0, g = m-1;
    int *suff = new int[m];
    for (int i=0; i<m; i++)
        suff[i] = 0;
    suff[m-1] = m;  

    for (int i=m-2; i>=0; --i)
    {
        if (i>g && suff[i+m-1-f]<i-g)
            suff[i] = suff[i+m-1-f];
        else
        {
            if (i<g)
                g = i;
            f = i;
            while (g>=0 && P[g] == P[g+m-1-f])
                g--;
            suff[i] = f - g;
        }
    }
    return suff;
}  

int* GoodSuffix(const char *P)
{
    int m = strlen(P);
    int *suff = suffixes(P);
    int *gs = new int[m];  

    for (int i=0; i<m; i++)
        gs[i] = m;  

    for (int i=m-1, j=0; i>=0; i--)
    {
        if (suff[i] == i+1)
        {
            for (j=0; j<m-1-i; j++)
                if (gs[j] == m)
                    gs[j] = m-1-i;
        }
    }  

    for (int i=0; i<=m-2; i++)
        gs[m-1-suff[i]] = m-1-i;  

    delete []suff;
    return gs;
}  

void BoyerMooreMatcher(const char *T, const char *P)
{
    int m = strlen(T);
    int n = strlen(P);
    int *bc = BadCharacter(P);
    int *gs = GoodSuffix(P);  

    int i=0, k=n-1;
    while (i<=m-n)
    {
        for (k = n-1; k>=0 && T[i+k] == P[k]; k--);  

        if (k==-1)
        {
            cout<<i<<" ";
            i = i + gs[0];
        } else {
            int offset = bc[(int)T[i+k]] - m + 1 + k;
            if (offset < gs[k]) offset=gs[k];
            i = i + offset;
        }
    }
    cout<<endl;  

    delete []bc;
    delete []gs;
}

BM算法计算坏字符表bc和好后缀表gs需要的时间复杂度最快都为O(n)，第二步匹配位移时间复杂度为O(m)，所以总的时间复杂度依旧为O(m+n)，但理论上要比KMP快、快、快。。。

**参考文章：

1.《Boyer-Moore算法学习》

2.《Boyer-Moore算法详解》

4、Horspool算法

看完了两种理论上很经典的算法，是不是觉得有点头疼那，那么...现在忘了它们吧，为啥？因为，它们太复杂了，在字符串匹配研究领域中的一人所共知的事实便是“算法的思想越简单，实际应用效果越好”。KMP算法看起来很牛逼吧，但它在实际应用中比朴素算法还要慢一倍，BM算法牛逼吧，但其高度简化的后版本在实际中比它本身要快上很多。所以，让我们把该死的KMP算法和BM算法给忘了吧，来认识两种既简单又高效的字符串匹配算法。

首先介绍的是Horspool算法，它便是首个对BM算法进行简化的算法。它认为原BM算法中坏字符算法总能产生更大的偏移位移，于是它对坏字符算法进行了小修改，使其易于计算并能产生更大的偏移位移。

在BM算法中“坏字符”的定义是，已经匹配串前一位的文本字符，而在Horspool算法中，我们考虑的是自右向左匹配后匹配成功串的最后一个字符，然后在模式串P中找到非尾最靠右的这个字符，将其位移到对应位置。此时也会出现两种情况：

  1. 模式串P中能找到这个字符，则位移到对应位置

    此例中匹配串为“cd”，最后一位为“d”，找到P中最靠右且非尾的字符“d”，将其位移到对应位置后继续匹配）

  2. 模式串中不能找到这个字符，则位移n位

    因此，本算法同样分两步：第一步先通过P计算出“坏字符”表的变异版本，然后通过此表依次匹配位移。简单吧，比什么KMP和BM算法简单和好记多了，代码也简单。

实现代码：

// 4.Horspool算法
int* HorspoolTable(const char *P)
{
    int n = strlen(P);
    int *ht = new int[256];
    for (int i=0; i<256; i++)
        ht[i] = n;
    for (int i=0; i<n-1; i++)
        ht[(int)P[i]] = n - i - 1;
    return ht;
}  

void Horspool(const char *T, const char *P)
{
    int m = strlen(T);
    int n = strlen(P);
    int *ht = HorspoolTable(P);  

    int i=0, k=n-1;
    while (i<=m-n)
    {
        for (k=n-1; k>=0 && T[i+k]==P[k]; k--) ;  

        if (k==-1)
            cout<<i<<" ";
        i = i + ht[(int)T[i+n-1]];
    }
    cout<<endl;
    delete []ht;
}

5、Sunday算法

再来说一个好算法，Sunday算法，它与上面说的Horspool很类似，唯一不同点在于，Horspool利用的是匹配串的最后一位字符，而Sunday用得事匹配窗口后面的一位字符，这样可以带来更大的平均移动距离。尽管它的移动距离要长一些，但是“展开”的Horspool具有更少的内存引用次数，因而一般来说比Horspool算法要更慢一些。

下面依旧用图示说明两种情况：

  1. 无论匹配是否成功，模式串P中能找到匹配窗口后一位的文本字符，则位移到对应位置

  2. 模式串P中不能找到匹配窗口后一位的文本字符，则位移到此字符之后

实现代码：

// 5.Sunday算法
int* SundayTable(const char *P)
{
    int n = strlen(P);
    int *st = new int[256];
    for (int i=0; i<256; i++)
        st[i] = n;
    for (int i=0; i<n; i++)
        st[(int)P[i]] = n - i - 1;
    return st;
}  

void Sunday(const char *T, const char *P)
{
    int m = strlen(T);
    int n = strlen(P);
    int *st = SundayTable(P);  

    int i=0, k=0;
    while (i<=m-n)
    {
        for (k=0; k<n && T[i+k]==P[k]; k++) ;  

        if (k==n)
        {
            cout<<i<<" ";
            if ((i+n) > m)
                break;
        }  

        i = i + st[(int)T[i+n]] + 1;
    }
    cout<<endl;  

    delete []st;
}

6、总结

以上介绍的其实都是单字符串匹配算法，除了介绍的几种之外此类算法还有Shift-And/Shift-Or算法、BNDM算法、BOM算法等；除了这类，还有像Multiple Shift-And算法、Aho-Corasick算法、Set Horspool算法等等多字符串匹配的算法。这个领域水很深那，对于我来说还没那个必要去研究那么多，因为暂时用不上，现阶段知道几个简单高效的性价比高的单字符串匹配算法就ok了，比如Horspool和Sunday算法，因为在实际应用中编码效率和程序执行效率才是王道。

时间： 2024-10-10 04:09:47

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