P2734 游戏 A Game

题目背景

有如下一个双人游戏:N(2 <= N <= 100)个正整数的序列放在一个游戏平台上，游戏由玩家1开始，两人轮流从序列的任意一端取一个数，取数后该数字被去掉并累加到本玩家的得分中，当数取尽时，游戏结束。以最终得分多者为胜。

题目描述

编一个执行最优策略的程序，最优策略就是使玩家在与最好的对手对弈时，能得到的在当前情况下最大的可能的总分的策略。你的程序要始终为第二位玩家执行最优策略。

输入输出格式

输入格式：

第一行: 正整数N, 表示序列中正整数的个数。

第二行至末尾: 用空格分隔的N个正整数（大小为1-200）。

输出格式：

只有一行，用空格分隔的两个整数: 依次为玩家一和玩家二最终的得分。

输入输出样例

输入样例#1：

6
4 7 2 9 5 2

输出样例#1：

18 11

说明

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 3.3

思路：

经典的区间型动态规划的题。

状态只有2种：从左边拿和从右边拿。

假设当前状态a1,a2,a3,a4,a5，如果第一个人选最左边的，则问题转化为四个数a2,a3,a4,a5，然后第二个人先选，由于题目说第二个人方案也最优，所以选的也是最优方案，即f[i+1][j]；先选右边同理。

f[i][j]表示i~j区间段第一个人选的最优方案。

所以dp转移方程为：f[i][j]=max{ sum[i+1][j]-f[i+1][j]+ai，sum[i][j-1]-f[i][j-1]+aj }

sum[i][j]其实就等于sum[1][j]-sum[1][i-1],于是我们用一个s数组，s[i]表示前1~i个数的和，就好了。

所以dp转移方程也可写成f[i][j]=max((s[j]-s[i-1])-f[i+1][j],(s[j]-s[i-1])-f[i][j-1]);

根据dp转移方程我们可以发现，要得到状态f[i][j],必须要得到状态f[i+1][j]和f[i][j-1]。然后我们就可以写出程序了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,w[5001],s[5001],f[5001][5001];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&w[i]);
        s[i]=s[i-1]+w[i];
        f[i][i]=w[i];
    }
    for(int i=n;i>=1;i--)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            f[i][j]=max((s[j]-s[i-1])-f[i+1][j],(s[j]-s[i-1])-f[i][j-1]);
    cout<<f[1][n]<<" "<<s[n]-f[1][n];
}