DP思想在斐波那契数列递归求解中的应用

斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2). 求第n个数的值。

方法一：迭代

    public static int iterativeFibonacci(int n) { //简单迭代
        int a = 1, b = 1;
        for(int i = 2; i < n; i ++) {
            int tmp = a + b;
            a = b;
            b = tmp;
        }
        return b;
    }

方法二：简单递归

    public static long recursionFibonacci(long n) { // 简单递归
        if(n == 1 || n == 2) return 1;
        return recursionFibonacci(n-1) + recursionFibonacci(n-2);
    }

方法三：利用DP思想对方法二进行改进，即使用一个数组存储每次计算出的结果，防止重复计算。

    public static int recursionDPFibonacci(int n, int[] array) { //利用一个数组保存已经计算出的结果，防止下次重复计算。
        if(n == 1 || n == 2) return 1;
        if(array[n] == 0)
            array[n] = recursionDPFibonacci(n-1, array) + recursionDPFibonacci(n-2, array);
        return array[n];
    }

下面给出测试代码：

    public static void main(String[] args) {
        int[] array = new int[44]; //433494437
        System.out.println(Main.recursionDPFibonacci(43, array));
    }

关于斐波那契数列，有一个爬楼梯的问题，一层楼一共n个台阶，已知一次只能上一个台阶或者上两个台阶，问一共有多少种方式能爬到楼顶？

分析：通过找规律，发现：

n = 1,  1种；

n = 2,  2种；

n = 3,  3种；

n = 4,  5种；

n = 5,  8种；

即f(n) = f(n-1) + f(n-2).

代码如下：

    public int climbStairs(int n) {
        if(n <= 2) return n;
        int a = 1, b = 2;
        for(int i = 2; i < n; i++) {
            int tmp = a + b;
            a = b;
            b = tmp;
        }
        return b;
    }