题意:
所给数据中是否有负环? 没有负环的图中所有路径中最短的值
思路:
1. bellmanford 判断负环
2. flodyWarshall 求所有定点的最短路径
细节:
1. bellmanford 算法时间复杂度为 o(n^3), 因为图的使用邻接矩阵存储的, 使用邻接表代码会容易理解些, 引用
wiki 的伪代码
1
2
3
4
5
6
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// 步骤2：重复对每一条边进行松弛操作
for i from 1 to size(vertices)-1:
for each edge (u, v) with weight w in edges:
if distance[u] + w < lt; distance[v]:
distance[v] := distance[u] + w
predecessor[v] := u
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每次收缩至少能够使一个点达到其最小距离, 最差的情况就是 1 -> 2 ->…n, 需要 n-1 次才能收缩完毕
2. 负环判断.
bellmanford 算法运行完毕后, 所得的结果应当是最终解, 除非有负环. 因此, 运行完 bellmanford 算法后, 再进行一次对所有收缩,若
dist 的值发生了变化(变小), 则说明出现了负环.
3. flodyWarshall算法:
设D_{i,j,k}为从i到j的只以(1..k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。
若最短路径经过点k，则D_{i,j,k}=D_{i,k,k-1}+D_{k,j,k-1}；
若最短路径不经过点k，则D_{i,j,k}=D_{i,j,k-1}。
因此，D_{i,j,k}=\mbox{min}(D_{i,k,k-1}+D_{k,j,k-1},D_{i,j,k-1})。
在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维
4. 动态规划算法第一件事就是要把最外层的循环变量确定, 确定的方式就是看状态转移方程的变化变量
5. 空间降维的方法.
先不考虑降维不降维的问题, 用笔画图模拟出矩阵或数组中的某一个值是由哪些导出的(在我后来做题中, 发现有新值是由通过request旧值更新,
如floydwarshell, 而也有一些dp的题目, 新值是通过旧值push更新的, 比如 poj 棋盘问题).
根据值的导出顺序来判断如何设置循环变量的遍历顺序(从大到小或从小到大)以使用滚动数组或滚动矩阵
6. 数学之美有一个小节讲到 google map
寻找城市之间的最短路径, 使用的就是 floydwarshell 算法
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class Honor Code
int bellmanford(int path[], int dist[], int verNum, int edge[][maxVertex], int src) {
// init array path and dist
for(int i = 0; i < lt; verNum; i ++) {
path[i] = src;
dist[i] = edge[src][i];
}
for(int i = 1; i < verNum; i ++) {
// 收缩
for(int j = 0; j < verNum; j++) {
if(j == src) continue;
for(int k = 0; k < verNum; k ++) {
if(edge[k][j] < inf && dist[k] < inf && dist[k] + edge[k][j] < dist[j]) {
path[j] = k;
dist[j] = edge[k][j] + dist[k];
}
}
}
}
for(int i = 0; i < verNum ; i++) {
cout << dist[i] << " ";
}
cout << endl;
dist[src] = 0;
// check if exists a negative cycle
for(int i = 0; i < verNum; i++) {
for(int j = 0; j < verNum; j ++) {
if(edge[j][i] < inf && dist[j] < inf && dist[j] + edge[j][i] < dist[i])
return 0;
}
}
return 1;
}
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int flodyWarshall(int dist[][maxSize], int path[][maxSize], int edge[][maxSize], int verNum) {
for(int i = 0; i < verNum; i++) {
for(int j = 0; j < verNum; j ++) {
if(i == j) {
dist[i][j] = 0;
}else {
dist[i][j] = edge[i][j];
}
}
}
for(int k = 0; k < verNum; k ++) {
for(int i = 0; i < verNum; i ++) {
for(int j = 0; j < verNum; j++) { if(dist[i][j] > dist[i][k]+dist[k][j]) {
dist[i][j] =dist[i][k]+dist[k][j];
path[i][j] = k;
}
}
}
}
int minDist = 9999999;
for(int i = 0; i < verNum; i ++) {
for(int j = 0; j < verNum; j ++) {
if(dist[i][j] < minDist)
minDist = dist[i][j];
}
}
return minDist;
}
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时间： 2024-10-10 23:45:42
