(一)通项公式
1 #include<cstdio>
2 #include<iostream>
3 #include<cmath>
4
5 using namespace std;
6
7 int main()
8 {
9 int n;
10 scanf("%d",&n);
11 n--;
12 double q=sqrt(5.0);
13 int ans;
14 ans=((pow((1+q)/2.0,n)/q-(pow((1-q)/2.0,n)/n)));
15 cout<<ans<<endl;
16 return 0;
17 }
(二)递归
递归是最慢的，它会发生重复计算，时间复杂度成指数级。
1 long long f(int n)
2 {
3 if(n==0) return 0;
4 else if(n==1) return 1;
5 //else if(n==2) return 2;
6 else return f(n-1)+f(n-2);
7 }
但是通过记忆化搜索，能够将其复杂度降低为O(n)
代码如下：
1 #include <iostream>
2 #include <cstdio>
3 #define M 100010
4
5 using namespace std;
6
7 bool v[M];//记忆化搜索
8 long long f[M];//进行记录
9
10 long long fb(int n)//递归
11 {
12 if(n==0) return 0;
13 if(n==1) return 1;//边界
14 if(v[n]) return f[n];//记忆化搜索
15 f[n]=fb(n-1)+fb(n-2);//进行记录
16 return f[n];
17 }
18
19 int main()
20 {
21 int n;
22 scanf("%d",&n);
23 cout<<fb(n);
24 return 0;
25 }
(三)循环
利用临时变量来保存中间的计算过程，能够加快运算。
1 long long f(int n)
2 {
3 long long a=1,b=2,c;
4 if(n==1) return 1;
5 if(n==2)return 2;
6 else
7 {
8 for(int i=3; i<=n; i++)
9 {
10 c=a+b;
11 a=b;
12 b=c;
13 }
14 }
15 return b;
16 }
(四)矩阵乘法+空间换时间(减少乘法，取模运算)
数列的递推公式为：f(1)=1，f(2)=2，f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>=3)
用矩阵表示为：
进一步，可以得出直接推导公式：
由于矩阵乘法满足结合律，在程序中可以事先给定矩阵的64，32，16，8，4，2，1次方，加快程序的执行时间。（有些题目需要取模运算，也可以事先进行一下）。给定的矩阵次幂，与二进制有关是因为，如下的公式存在解，满足Xi={0或1}：
为了保证解满足 Xi={0或1}，对上述公式的求解从右向左，即求解顺序为Xn，Xn-1,Xn-2,....,X1,X0。
完整代码实现如下：
1 /*求解f(n)%100000,其中n为大于等于3的正整数*/
2
3 #include<cstdio>
4 #include<cmath>
5
6 long long f_tmp[6][4]=
7 { /*存放矩阵次幂*/
8 /*位置：00 01 10 11*/
9 {24578,78309,78309,46269}, //32次幂%100000
10 {1597,987,987,610}, //16次幂%100000
11 {34,21,21,13}, //8次幂%100000
12 {5,3,3,2}, //4次幂%100000
13 {2,1,1,1}, //2次幂%100000
14 {1,1,1,0}, //1次幂%100000
15 };
16
17 void f(int k)
18 { //k>=3
19 int i;
20 long long t00=1,t01=1,t10=1,t11=0; //表示矩阵的1次幂
21 long long a,b,c,d;
22 k=k-3; //公式中是n-2次幂，(t00,t01,t10,t11)表示1次幂。所以一共减3次
23 for(i=k; i>=32; i=i-32)
24 { //对于大于等于32的k;
25 a=(t00*f_tmp[0][0]+t01*f_tmp[0][2])%100000;
26 b=(t00*f_tmp[0][1]+t01*f_tmp[0][3])%100000;
27 c=(t10*f_tmp[0][0]+t11*f_tmp[0][2])%100000;
28 d=(t10*f_tmp[0][1]+t11*f_tmp[0][3])%100000;
29 t00=a;
30 t01=b;
31 t10=c;
32 t11=d;
33 }
34 i=4;
35 while(i>=0)
36 { //对于小于32的k(16,8,4,2,1);
37 if(k>=(long long)pow(2,i))
38 { //如果k大于某一个2的次幂
39 a=(t00*f_tmp[5-i][0]+t01*f_tmp[5-i][2])%100000; ///(5-i)：矩阵的2的i次幂在数组fac_tmp中的位置为fac_tmp[5-i]
40 b=(t00*f_tmp[5-i][1]+t01*f_tmp[5-i][3])%100000;
41 c=(t10*f_tmp[5-i][0]+t11*f_tmp[5-i][2])%100000;
42 d=(t10*f_tmp[5-i][1]+t11*f_tmp[5-i][3])%100000;
43 t00=a;
44 t01=b;
45 t10=c;
46 t11=d;
47 k=k-(int)pow(2,i);
48 }
49 i--;
50 }
51 a=(t00*2+t01*1)%100000;
52 printf("%lld\n",a);
53 }
54
55 int main()
56 {
57 int n;
58 scanf("%d",&n);
59 f(n);
60 return 0;
61 }
codevs题目直通：
http://codevs.cn/problem/1250/
代码如下：
1 #include<iostream>
2 #include<cstring>
3
4 using namespace std;
5
6 void multi(int a[2][2],int b[2][2],int q)//前缀
7 {
8 int c[2][2];
9 memset(c,0,sizeof(c));//进行初始化清空，因为不只有一组数据，有t组
10 for(int i=0;i<2;i++)
11 for(int j=0;j<2;j++)
12 for(int k=0;k<2;k++)
13 c[i][j]=(c[i][j]+(a[i][k]*b[k][j])%q)%q;
14 for(int i=0;i<2;i++)
15 for(int j=0;j<2;j++)
16 a[i][j]=c[i][j];
17 }
18
19 void fastpow(int n,int q)
20 {
21 int result[2][2]={1,0,1,0};
22 int a[2][2]={1,1,1,0};
23 while(n)//如果n不为0，一直做下面的循环
24 {
25 if(n&1)//表明如果它是奇数
26 multi(result,a,q);
27 multi(a,a,q);
28 n>>=1;//位运算，相当于n/2
29 }
30 int ans=result[0][1]%q;
31 cout<<ans<<endl;
32 }
33 int main ()
34 {
35 int t;//给出(t)多组数据
36 int n,q;//第几项，模几
37 cin>>t;
38 while(t--)
39 {
40 cin>>n>>q;
41 n++;//因为斐波那契数列是从第0项开始的
42 fastpow(n,q);//快速幂
43 }
44 return 0;
45 }
运用快速幂求解
洛谷题目直通
https://www.luogu.org/problem/show?pid=1962#sub
代码:
#include<iostream>
#include<cstring>
#define Mod 1000000007LL
#define LL long long
using namespace std;
void multi(LL a[2][2],LL b[2][2])//前缀
{
LL c[2][2];
memset(c,0,sizeof(c));//进行初始化清空，因为不只有一组数据，有t组
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
for(int k=0;k<2;k++)
c[i][j]=(c[i][j]+(a[i][k]*b[k][j])%Mod)%Mod;
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
a[i][j]=c[i][j];
}
void fastpow(LL n)
{
LL result[2][2]={1,0,1,0};
LL a[2][2]={1,1,1,0};
while(n)//如果n不为0，一直做下面的循环
{
if(n&1)//表明如果它是奇数
multi(result,a);
multi(a,a);
n>>=1;//位运算，相当于n/2
}
LL ans=result[0][1]%Mod;
cout<<ans;
}
int main ()
{
LL n;//第几项
cin>>n;
fastpow(n);
return 0;
}
时间： 2024-10-24 21:02:20