绍一的模拟赛题
题意：
小Z养了$??$只企鹅，第$i$只企鹅的坐标为$(x_i, y_i)$，颜色为$??_??$。出于对企鹅安全的考虑，他决定造栅栏。地面上有$??$个桩，编号$0...?? − 1$，小Z会用一些直的栅栏，每个栅栏连接某两个桩子。对于最后的结果，任意两个栅栏不能交叉。任意一个桩只能连接0个或2个栅栏，栅栏必须围成一些封闭的多边形。由于经费有限，每一个多边形内至少包含一只企鹅。小Z的企鹅有着许多颜色。相同颜色的企鹅必须在同一个多边形内。为了保证所有企鹅的安全，每一只企鹅都必须被包含在某一个多边形内。
各种不合法的情况：
某种合法的情况：
现在小Z想知道自己有多少种合法的不同的造栅栏的方案??????。
【题解】
用?[??][??][0..1]表示??, ??必须选，点的编号在??, ??之间，最外层的多边形内没有(0)或有(1)企鹅的除了最外层多边形其他多边形均合法的方案数。??[??][??]表示??必须选，点的编号在??, ??之间合法的方案数。??[??][??]表示，点的编号在??, ??之间合法的方案数。当一个栅栏两侧没有相同颜色的企鹅时定义这
个栅栏是有效的。
然后就可以直接区间DP了。考虑计算?[??][??][??????]，枚举中间点????，当< ????, ?? >合法时进行转移，分类讨论??????和三角形(??, ????, ??)中有没有点的情况，再考虑向量< ??, ???? >右侧有没有企鹅，没有直接转移，有的话，考虑多边形(??, ?? + 1, ???? − 1, ????)内有没有点分类讨论一下即可。考虑计算??[??][??]，枚举中间点????，当< ????, ?? >合法时进行转移，如果向量< ??, ?? >左侧和向量< ??, ???? >左侧的企鹅的并集为空??[??][??]+ = ?[??][????][1]，否则如果向量< ???? + 1, ?? >的企鹅和上面两个的并集为空??[??][??]+ =?[??][????][1] * ??[???? + 1][??]。??[??][??]可以轻松的从??[??][??]转移过来。
【分析】
题解非常地神，直接给出了一个dp，这里从头分析为什么要这么做。
首先很容易确定一条边是否可以选（如果这条边两侧有相同颜色的企鹅，那么不能选）
那么现在问题变成了知道一些边能选不能选，要求选择一些边使得它们围成多个多边形，且每个企鹅都在一个多边形里，每个多边形里都有至少一个企鹅。
问题是在一个环上选出一些边，怎么就变成区间dp了呢？
考虑最朴素的暴力：枚举每条边选不选，再检查是否满足条件。所以第一步，我们考虑枚举一条边，选择任意一个点作为起始点，如下图选择了这个绿色的点
为了不重复，我们枚举这个点沿逆时针方向遇到的第一个有边的点。具体地说，这个点可能有边，可能没有边，如果没有边，我们按逆时针顺序继续枚举下一个点，直到枚举到一个有边的点，标为蓝色。
接下来继续枚举第二的点作为边的另一端，我们现在找到了一条边<i,j>，由于i是从l开始第一个有边的点，所以[l,i+1]里面的点都不会再有边了，而[j+1,r]里点只有它们内部才可能有边。这就剩下可能有边的点恰好是一个区间，所以可以考虑区间dp。我们现在关心的是什么？是[i,j]这段区间里，能形成多少种如红线的方案，具体来说就是选了某些边，且i,j都已经作为一个端点，这样就可以 在添加了(i,j)之后合并了，记方案数为h(i,j)（暂时不企鹅的限制）,那么此时答案需要加上h(i,j)*([j+1,r]里连边的方案数)。
再来看[j+1,r]里连边的方案数怎么求，我们发现这又是可以看成一个环，我们又回到了一个和原来的问题一样的问题，可以用同样的方式求解，不妨用f(l,r)表示，这样答案就是f(0,n-1)。
现在我们考虑h(l,r)怎么求，同样的，我们可以枚举l出去的第一条边<l,i>