C++输出全排列递归算法详细解释

中心思想:

设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}.

Perm(X)表示在全排列Perm(X)的每一个排列前加上前缀ri得到的排列。

（1）当n=1时，Perm(R)=(r),其中r是集合R中唯一的元素；

（2）当n>1时，Perm(R)可由(r1)+Perm(R1),(r2)+Perm(R2),…,(rn)+Perm(Rn)构成。

那么具体程序要怎么实现呢?我们来个实际的例子,假设有一数列1,2,3,4

那么1,2,3,4的全排列

perm({1,2,3,4})=1perm({2,3,4})+2perm({1,3,4})+3perm({1,2,4})+4perm(1,2,3)

那么我们只要将每个数,与第一个数交换不就可以得到下一个序列了吗?

比如{1,2,3,4}第一个与第二个数交换,那么不就得到2 {1,3,4}了,接下来我们用一个实际的例子说明该程序是怎样运行的

具体算法流程:

数列:{1,2,3} 第一个与第一个交换

可以得到1 {2,3} 将序列{2,3}放进perm函数递归,然后

——递归{2,3}

数列{2,3}第一个与第一个交换

得到2{3} ,输出1,2,3 (此时low=high,因为序列{3}只有一位数,因此输出列表list)

数列{2,3}第一个与第一个交换回来,结果仍然是{2,3}

数列{2,3}第一个与第二个交换

得到3{2},输出1,3,2

{3,2}又第一个与第二个交换回来,变回{2,3}

—–{2,3}递归完毕序列恢复原状{1,2,3}

数列:{1,2,3} 第一个与第二个交换

可以得到2,{1,3}

——递归{1,3}

数列{1,3}第一个与第一个交换

得到1{3} ,输出2,1,3

数列{1,3}第一个与第一个交换回来,结果仍然是{1,3}

数列{1,3}第一个与第二个交换

得到3{1},输出2,3,1

{3,1}又第一个与第二个交换回来,变回{1,3}

—–{1,3}递归完毕

序列{2,1,3}第一个与第二个交换

序列恢复原状{1,2,3}

数列:{1,2,3} 第一个与第三个交换

可以得到3,{1,2}

——递归{1,2}

数列{1,2}第一个与第一个交换

得到1{2} ,输出3,1,2

数列{1,2}第一个与第一个交换回来,结果仍然是{1,2}

数列{1,2}第一个与第二个交换

得到2{1},输出3,2,1

{2,1}又第一个与第二个交换回来,变回{1,2}

—–{1,2}递归完毕

序列{3,1,2}第一个与第二个交换

序列恢复原状{1,2,3}

算法可以简单地写作

perm({1,2,3})=1perm({2,3})+2perm({1,3})+3perm({1,2})

perm({2,3})=2perm({3})+3perm({2})

perm({1,3})=1perm({3})+3perm({1})

perm({1,2})=1perm({2})+2perm({1})

c++代码:

#include <iostream>
using namespace std;
void swap(int &a,int &b){
    int temp=a;
    a=b;
    b=temp;
}
void perm(int list[],int low,int high){
    if(low==high){   //当low==high时,此时list就是其中一个排列,输出list
        for(int i=0;i<=low;i++)
            cout<<list[i];
        cout<<endl;
    }else{
        for(int i=low;i<=high;i++){//每个元素与第一个元素交换
            swap(list[i],list[low]);
            perm(list,low+1,high); //交换后,得到子序列,用函数perm得到子序列的全排列
            swap(list[i],list[low]);//最后,将元素交换回来,复原,然后交换另一个元素
        }
    }
}
int main()
{

int list[]={1,2,3};
perm(list,0,2);
return 0;
}

程序结果:

123
132
213
231
321
312