转自:http://blog.csdn.net/wr132/article/details/43861145
问题描述
观察这个数列:
1 3 0 2 -1 1 -2 ...
这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。
栋栋对这种数列很好奇,他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢?
输入格式
输入的第一行包含四个整数 n s a b,含义如前面说述。
输出格式
输出一行,包含一个整数,表示满足条件的方案数。由于这个数很大,请输出方案数除以100000007的余数。
样例输入
4 10 2 3
样例输出
2
样例说明
这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。
数据规模和约定
对于10%的数据,1<=n<=5,0<=s<=5,1<=a,b<=5;
对于30%的数据,1<=n<=30,0<=s<=30,1<=a,b<=30;
对于50%的数据,1<=n<=50,0<=s<=50,1<=a,b<=50;
对于70%的数据,1<=n<=100,0<=s<=500,1<=a, b<=50;
对于100%的数据,1<=n<=1000,-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000,1<=a, b<=1,000,000。
再次更新!!!重大更新!!!经过三次修改,这道题终于最终出来了
抱歉让大家看了那么久的错误代码和错误的思路。
首先要说,这道题是一道DP。
虽然之前也注意到数据范围很大,但因为一开始就想的是搜索,所以就各种搜索剪枝,实际上都是徒劳。
像这种简单的DP题目一般都有两个特点:
1.长得和搜索题很像,甚至就能用搜索做
2.有一个大的吓人的数据
看清这两点,明确了思路,下面开始进入分析阶段:
1.按照题目要求,最终得到的序列的长度为n,和为s,并且后一项是前一项加a或减b,我们不妨将这个操作封装在一起,记作P操作,即P=(a,-b)。
2.设首项为x,可以得到一个等式x+(x+P)+(x+2P)+...+(x+(n-1)P)=s,将这个式子整理一下,就是nx+P+2P+...+(n-1)P=s,即(s-(P+2P+...+(n-1)P))/n=x。
3.由题意,x肯定是一个整数,并且由于每一个P代表一个a或者一个-b,所以a和b的总数为n*(n-1)/2,也就是说只要确定了a的个数,那么b的个数也就确定了。
4.关键问题是对于一个确定的a的个数,方案不只有一种,而且a的个数肯定是由(1,2,3,...,n-1)这其中的若干项组成的,,我们把这些项看作元素,第i个元素的权值为i于是,下面就开始构造递推方程
5.首先,定义一个数组dp[i][j],表示前i个元素组成和为j的序列的方案数,这里的和j表示的是所有的a的和,很明显当i!=0时dp[i][0]=1,当j!=0时dp[0][j]=0,然后我们要分两种情况讨论
(1)、i>j时,因为每一个元素i权值都是i,所以当元素的个数大于和的时候,第i个元素的权值已经超过了和,所以第i个元素绝对不能使用,即dp[i][j]=dp[i-1][j]。
(2)、i<=j时,第i个元素的权值是小于等于和的,所以可以用,也可以不用,如果不用,那么就是dp[i-1][j],如果用,就是dp[i-1][j-i],这个有点类似于01背包,所以
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-i]。
OK,通过上面的分析,我们得到了递推方程,但还有一个问题,就是空间的问题,题目给出的i的最大值达到1000,相应的j也就是1000^2,我们是不可能开出这么大的数组的,观察递推方程,我们可以看出下一个状态只和前一个状态有关,而且我们实际上只需要最后一个状态即,dp[n][j],于是可以使用滚动数组。
先简单说明一下什么叫滚动数组,因为DP的过程就是一个递推的过程,在推导的过程中,数组中的每一个元素或者是前一个状态,或者是后一个状态,但是,当我们并不需要中间状态得到保留的时候,可以使下一个状态覆盖之前的一个状态,这样就可以极大的压缩空间。
回到本题,我们定义dp[2][MAX*MAX],也就是说,后面的状态会把前面的状态覆盖掉。
下面上正确的代码
[cpp] view plain copy
- #include <iostream>
- #include <memory.h>
- #define MAXN 1100
- #define MOD 100000007
- using namespace std;
- int F[2][MAXN*MAXN];
- int e = 0;
- long long n,s,a,b;
- int cnt = 0;
- void DP(int elem)
- {
- int i,j;
- memset(F,0,sizeof(F));
- F[e][0]=1;
- for(i=1;i<n;i++)
- {
- e=1-e;
- for(j=0;j<=i*(i+1)/2;j++)
- {
- if(i>j)
- F[e][j]=F[1-e][j];
- else
- F[e][j]=(F[1-e][j]+F[1-e][j-i])%MOD;
- }
- }
- }
- int main()
- {
- cin>>n>>s>>a>>b;
- long long i,t;
- DP(n*(n-1)/2);
- for(i=0; i<=n*(n-1)/2; i++)
- {
- t = s - i*a + (n*(n-1)/2-i)*b;
- if(t%n==0)
- cnt = (cnt+F[e][i])%MOD;
- }
- printf("%d",cnt);
- return 0;
- }