波动数列

转自:http://blog.csdn.net/wr132/article/details/43861145

问题描述

  观察这个数列:
  1 3 0 2 -1 1 -2 ...

  这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。

  栋栋对这种数列很好奇,他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢?

输入格式

  输入的第一行包含四个整数 n s a b,含义如前面说述。

输出格式

  输出一行,包含一个整数,表示满足条件的方案数。由于这个数很大,请输出方案数除以100000007的余数。

样例输入

4 10 2 3

样例输出

2

样例说明

  这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

数据规模和约定

  对于10%的数据,1<=n<=5,0<=s<=5,1<=a,b<=5;
  对于30%的数据,1<=n<=30,0<=s<=30,1<=a,b<=30;
  对于50%的数据,1<=n<=50,0<=s<=50,1<=a,b<=50;
  对于70%的数据,1<=n<=100,0<=s<=500,1<=a, b<=50;
  对于100%的数据,1<=n<=1000,-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000,1<=a, b<=1,000,000。

再次更新!!!重大更新!!!经过三次修改,这道题终于最终出来了

抱歉让大家看了那么久的错误代码和错误的思路。

首先要说,这道题是一道DP。

虽然之前也注意到数据范围很大,但因为一开始就想的是搜索,所以就各种搜索剪枝,实际上都是徒劳。

像这种简单的DP题目一般都有两个特点:

1.长得和搜索题很像,甚至就能用搜索做

2.有一个大的吓人的数据

看清这两点,明确了思路,下面开始进入分析阶段:

1.按照题目要求,最终得到的序列的长度为n,和为s,并且后一项是前一项加a或减b,我们不妨将这个操作封装在一起,记作P操作,即P=(a,-b)。

2.设首项为x,可以得到一个等式x+(x+P)+(x+2P)+...+(x+(n-1)P)=s,将这个式子整理一下,就是nx+P+2P+...+(n-1)P=s,即(s-(P+2P+...+(n-1)P))/n=x。

3.由题意,x肯定是一个整数,并且由于每一个P代表一个a或者一个-b,所以a和b的总数为n*(n-1)/2,也就是说只要确定了a的个数,那么b的个数也就确定了。

4.关键问题是对于一个确定的a的个数,方案不只有一种,而且a的个数肯定是由(1,2,3,...,n-1)这其中的若干项组成的,,我们把这些项看作元素,第i个元素的权值为i于是,下面就开始构造递推方程

5.首先,定义一个数组dp[i][j],表示前i个元素组成和为j的序列的方案数,这里的和j表示的是所有的a的和,很明显当i!=0时dp[i][0]=1,当j!=0时dp[0][j]=0,然后我们要分两种情况讨论

(1)、i>j时,因为每一个元素i权值都是i,所以当元素的个数大于和的时候,第i个元素的权值已经超过了和,所以第i个元素绝对不能使用,即dp[i][j]=dp[i-1][j]。

(2)、i<=j时,第i个元素的权值是小于等于和的,所以可以用,也可以不用,如果不用,那么就是dp[i-1][j],如果用,就是dp[i-1][j-i],这个有点类似于01背包,所以

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-i]。

OK,通过上面的分析,我们得到了递推方程,但还有一个问题,就是空间的问题,题目给出的i的最大值达到1000,相应的j也就是1000^2,我们是不可能开出这么大的数组的,观察递推方程,我们可以看出下一个状态只和前一个状态有关,而且我们实际上只需要最后一个状态即,dp[n][j],于是可以使用滚动数组。

先简单说明一下什么叫滚动数组,因为DP的过程就是一个递推的过程,在推导的过程中,数组中的每一个元素或者是前一个状态,或者是后一个状态,但是,当我们并不需要中间状态得到保留的时候,可以使下一个状态覆盖之前的一个状态,这样就可以极大的压缩空间。

回到本题,我们定义dp[2][MAX*MAX],也就是说,后面的状态会把前面的状态覆盖掉。

下面上正确的代码

[cpp] view plain copy

  1. #include <iostream>
  2. #include <memory.h>
  3. #define MAXN 1100
  4. #define MOD 100000007
  5. using namespace std;
  6. int F[2][MAXN*MAXN];
  7. int e = 0;
  8. long long n,s,a,b;
  9. int cnt = 0;
  10. void DP(int elem)
  11. {
  12. int i,j;
  13. memset(F,0,sizeof(F));
  14. F[e][0]=1;
  15. for(i=1;i<n;i++)
  16. {
  17. e=1-e;
  18. for(j=0;j<=i*(i+1)/2;j++)
  19. {
  20. if(i>j)
  21. F[e][j]=F[1-e][j];
  22. else
  23. F[e][j]=(F[1-e][j]+F[1-e][j-i])%MOD;
  24. }
  25. }
  26. }
  27. int main()
  28. {
  29. cin>>n>>s>>a>>b;
  30. long long i,t;
  31. DP(n*(n-1)/2);
  32. for(i=0; i<=n*(n-1)/2; i++)
  33. {
  34. t = s - i*a + (n*(n-1)/2-i)*b;
  35. if(t%n==0)
  36. cnt = (cnt+F[e][i])%MOD;
  37. }
  38. printf("%d",cnt);
  39. return 0;
  40. }
时间: 2024-10-12 16:50:53

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