【ZOJ 2974】Just Pour the Water(矩阵快速幂)

传送门：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2974

题意 给出n个杯子与初始水量同时进行操作 将其中的水同时平均分入所指定的杯子 进行x次后 输出杯子剩余水量

刚拿到这个题，第一反应是递推找规律，但是因为每个杯子的初始水量是未知的，所以能找的只是每个杯子水量与其余杯子水量的关系。

但是看到了操作次数巨大，而且最多只有20个杯子，感觉可以用快速幂去做。

我们假设矩阵a[i][j]代表第i个杯子的水有a[i][j]来自第j个杯子，这样用init矩阵表示初始水量，unit矩阵表示每次操作后的变化，最后init*pow(unit,k)即为所求。

注意当某一个杯子不用向其他杯子操作时，要将相应位置填为1，因为这个原因wa了8次。

总结：这是道思维大于算法的题，算法只是简单的矩阵快速幂，但是思维与经验很重要，比如对于数据的理解。由于操作数巨大，所以可以考虑一发快速幂。

代码如下：

///BY: Torrance_ZHANG
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
struct JZ {
    double a[25][25];
} init, unit;
int n;
JZ multi(JZ x, JZ y) {
    JZ z;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            z.a[i][j] = 0.0;
            for (int k = 0; k < n; k++) {
                z.a[i][j] += (x.a[i][k] * y.a[k][j]);
            }
        }
    }
    return z;
}
JZ Pow(JZ x, JZ y, int k) {
    while (k) {
        if (k % 2 != 0)
            y = multi(y, x);
        x = multi(x, x);
        k /= 2;
    }
    return y;
}
void init_JZ(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            init.a[i][j] = 0.0;
            unit.a[i][j] = 0.0;
        }
    }
}
double aa[25];
int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        scanf("%d", &n);
        init_JZ(n);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%lf", &init.a[0][i]);
        int tmp = 0, xh;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &tmp);
            if (tmp == 0)                ///最容易被忽略的一点，若输入为0，则全部的水都来自本身
                unit.a[i][i] = 1;
            else {
                for (int j = 0; j < tmp; j++) {
                    scanf("%d", &xh);
                    unit.a[i][xh - 1] += 1.0 / tmp;
                }
            }
        }
        int time;
        scanf("%d", &time);
        JZ res = Pow(unit, init, time);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            printf("%.2f", res.a[0][i]);
            printf(i == n - 1 ? "\n" : " ");
        }
    }
}