三分·三分求极值 算法讲解和题目

题目：

#1142 : 三分·三分求极值

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描述

这一次我们就简单一点了，题目在此：

在直角坐标系中有一条抛物线y=ax^2+bx+c和一个点P(x,y)，求点P到抛物线的最短距离d。

提示：三分法

输入

第1行：5个整数a,b,c,x,y。前三个数构成抛物线的参数，后两个数x,y表示P点坐标。-200≤a,b,c,x,y≤200

输出

第1行：1个实数d，保留3位小数(四舍五入)

样例输入

2 8 2 -2 6

样例输出

2.437

解题思路：

　　这道题，我们拿到手后都知道应该求 d = min(sqrt((X-x)^2+(Y-y)^2)), 那么我们知道了我们的目标函数后，我们就应该把这个函数来化简，化简后，我们知道这个函数是一个四次的函数，那么对于我们最为普通的求导求极值的方法来说，是根本不可能达到的。进一步观察题目，我们可以发现根据带入的X值不同，d的长度恰好满足凸形函数。
而我们要求的最短距离d，正好就是这个凸形函数的极值。

代码：

 1 # include <cstdio>
 2 # include <iostream>
 3 # include <cmath>
 4 using namespace std;
 5 double a,b,c,X,Y;
 6 double possible( double x )
 7 {
 8     double y = a*x*x+b*x+c;
 9     double res = hypot(X-x,Y-y);
10     return res;
11 }
12 int main(void)
13 {
14     cin>>a>>b>>c>>X>>Y;
15     double l = -233.0;
16     double r = 233.0;
17     while ( abs(r-l) > 1e-8 )
18     {
19             double m1 = l+(r-l)/3;
20             double m2 = r-(r-l)/3;
21             if ( possible(m1) < possible(m2) )
22             {
23                 r = m2;
24             }
25             else
26             {
27                 l = m1;
28             }
29     }
30     printf("%.3lf\n",(possible(l)+(possible(r)))/2);
31
32
33     return 0;
34 }