素数筛法--SPOJ Problem 2 Prime Generator

质数(prime number)又称素数，除了1和它本身外，不能整除以其他自然数，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。最小的质数是2。

要判断一个整数N是不是质数很简单，看它是否能被2到sqrt(N)之间的整数整除即可。

def isPrime(n):
    if n%2==0:
        return False
    for i in xrange(3,int(math.sqrt(n)+1),2):
        if n%i==0:
            return False
    return True

不过要找出1到N之间的所有质数时，一个个的判定显然不是一个好主意。由于合数可以分解成一系列质数之积，所以1到N之间的合数都是1到sqrt(N)之间某个质数的倍数，排除这些合数，剩余的即为质数：

import math
import timeit
def findPrime(n):
    a=[True]*(n+1)
    a[0]=False
    a[1]=False
    for i in xrange(2,int(math.sqrt(n)+1)):
        if a[i]:
            k=i*i
            while k<=n:
                a[k]=False
                k=k+i
if __name__==‘__main__‘:
    t=timeit.Timer(‘findPrime(2000000)‘,‘from __main__ import findPrime‘)
    print t.timeit(1)

算法从2开始判断是否为质数，并排除质数的倍数，当2至i都被判断后，i+1是否为质数已很明确。

SPOJ Problem 2  Prime Generator 要求找出n至m之间的质数，其中1 <= m <= n <= 1000000000, n-m<=100000。

这种情况下建一个1000000000长度的序列就太浪费空间了，需要先找出1至sqrt(n)之间的质数，然后将n与m之间这些质数的倍数排除：

import math
def findPrime(n):
    a=[True]*(n+1)
    a[0]=False
    a[1]=False
    for i in xrange(2,int(math.sqrt(n)+1)):
        if a[i]:
            k=i*i
            while k<=n:
                a[k]=False
                k=k+i
    for i in xrange(2,n+1):
        if a[i]:
            yield i
def findPrimeBySeed(n,m):
    if n==1:
        n=2
    seed=findPrime(int(math.sqrt(m)))
    alist=[1]*(m-n+1)

    for prime in seed:
        if prime<n:
            k=(prime-n%prime)%prime
        else:
            k=2*prime-n
        while k<=m-n:
            alist[k]=False

            k+=prime
    for i in xrange(m-n+1):
        if alist[i]:
            print i+n

if __name__==‘__main__‘:

    line=int(raw_input())
    for i in xrange(line):
        n,m=raw_input().split()
        findPrimeBySeed(int(n),int(m))
        print